خوش آموز درخت تو گر بار دانش بگیرد، به زیر آوری چرخ نیلوفری را


تمرینات ترکیب توابع

تمرینات ترکیب توابع
نویسنده : امیر انصاری
در اینجا به تمرینات مرتبط با مبحث ترکیب توابع (Combining Functions) می پردازیم. هر چند در ادامه پاسخ تمرینات نیز آمده است اما شدیداً توصیه می کنیم ابتدا تلاش خود را برای حل تمرینات انجام دهید و سپس پاسخ هایتان را با پاسخ های صحیح مقایسه کنید.

سیستم یکپارچۀ سازمانی راهکار



  1. فرض کنید که \(f\) یک تابع زوج (even function) و \(g\) یک تابع فرد (odd function) باشند، و هر دوی توابع \(f\) و \(g\)، در سراسر خط حقیقی \((-\infty,\infty)\) باشند. کدام یک از تعریف های زیر زوج یا فرد می باشند؟
    1. \(fg\)

    2. \(\frac{f}{g}\)

    3. \(\frac{g}{f}\)

    4. \(f^2=ff\)

    5. \(g^2=gg\)

    6. \(f \circ g\)

    7. \(g \circ f\)

    8. \(f \circ f\)

    9. \(g \circ g\)

  2. آیا یک تابع می تواند هم زوج و هم فرد باشد؟ دلایل پاسختان را ذکر نمایید.

  3. T (ادامۀ مثال 1) نمودار توابع \(f(x)=\sqrt{x}\) و \(g(x)=\sqrt{1-x}\) را با یکدیگر ترسیم کنید، همراه با موارد زیر:
    1. مجموع آنها
    2. حاصلضرب آنها
    3. دو تفاضل آنها
    4. دو خارج قسمت آنها

  4. T فرض کنید \(f(x)=x-7\) و \(g(x)=x^2\). نمودار \(f\) و \(g\) را با یکدیگر ترسیم کنید، همراه با نمودارهای \(f \circ g\) و \(g \circ f\) .

پاسخ تمرینات


    1. $$(fg)(-x)=f(-x)g(-x)=f(x)(-g(x))=-(fg)(x)$$
      حاصلضرب این دو تابع، تابعی فرد است. پس می توان گفت حاصلضرب یک تابع زوج و یک تابع فرد، تابعی فرد خواهد بود.

    2. $$(\frac{f}{g})(-x)=\frac{f(-x)}{g(-x)}=\frac{f(x)}{-g(x)}=-(\frac{f}{g})(x)$$
      خارج قسمت تقسیم این دو تابع، تابعی فرد است. پس می توان گفت خارج قسمت تقسیم یک تابع زوج و یک تابع فرد، تابعی فرد خواهد بود. البته فراموش نکنید که مخرج این کسر نباید \(0\) باشد.

    3. $$(\frac{g}{f})(-x)=\frac{g(-x)}{f(-x)}=\frac{-g(x)}{f(x)}=-(\frac{g}{f})(x)$$
      خارج قسمت تقسیم این دو تابع، تابعی فرد است. نتیجه ای که در قسمت \(\text{b}\) گرفتیم در اینجا نیز صدق می کند.

    4. $$f^2(-x)=f(-x)f(-x)=f(x)f(x)=f^2(x)$$
      حاصلضرب این تابع در خودش، تابعی زوج می باشد. پس می توان نتیجه گرفت که حاصلضرب دو تابع زوج، تابعی زوج می باشد.

    5. $$g^2(-x)=(g(-x))^2=(-g(x))^2=g^2(x)$$
      حاصلضرب این تابع در خودش، تابعی زوج می باشد. پس می توان نتیجه گرفت که حاصلضرب دو تابع فرد، تابعی زوج می باشد.

    6. $$(f \circ g)(-x)=f(g(-x))=f(-g(x))=f(g(x))=(f \circ g)(x)$$
      نتیجۀ ترکیب این دو تابع، تابعی زوج می باشد. پس می توان گفت ترکیب یک تابع زوج و یک تابع فرد، یک تابع زوج می باشد.

    7. $$(g \circ f)(-x)=g(f(-x))=g(f(x))=(g \circ f)(x)$$
      نتیجۀ ترکیب این دو تابع، تابعی زوج می باشد. نتیجه ای که در بخش \(\text{f}\) گرفتیم در اینجا نیز صدق می کند.

    8. $$(f \circ f)(-x)=f(f(-x))=f(f(x))=(f \circ f)(x)$$
      نتیجۀ ترکیب این دو تابع، تابعی زوج می باشد. پس می توان گفت ترکیب دو تابع زوج با یکدیگر، یک تابع زوج می باشد.

    9. $$(g \circ g)(-x)=g(g(-x))=g(-g(x))=-g(g(x))=-(g \circ g)(x)$$
      نتیجۀ ترکیب این دو تابع، تابعی فرد می باشد. پس می توان گفت ترکیب دو تابع فرد با یکدیگر، یک تابع فرد می باشد.

  1. بله، این امکان وجود دارد که تابعی هم زوج و هم فرد باشد. تابع \(f(x)=0\) هم زوج و هم فرد می باشد، زیرا \(f(-x)=0=f(x)\) و \(f(-x)=0=-f(x)\) .
    توابع زوج با توجه به محور \(y\) متقارن می باشند. توابع فرد نسبت به مبدأ مختصات متقارن می باشند. تنها تابعی که نسبت به محور \(y\) و مبدأ متقارن می باشد، تابع ثابت \(y=0\) است.
    \(y=0\) تنها تابعی است که هم زوج و هم فرد است.


    1. تمرینات ترکیب توابع

    2. تمرینات ترکیب توابع

    3. تمرینات ترکیب توابع

    4. تمرینات ترکیب توابع


  2. تمرینات ترکیب توابع



نمایش دیدگاه ها (0 دیدگاه)

دیدگاه خود را ثبت کنید:

انتخاب تصویر ویرایش حذف
توجه! حداکثر حجم مجاز برای تصویر 500 کیلوبایت می باشد.