مختصات هر نقطۀ \(P(x,y)\) در صفحۀ مختصات می تواند به لحاظ مسافت آن نقطه از مبدأ مختصات (origin) یعنی \(r\) و زاویۀ \(\theta\) که نیم خط \(OP\) با محور \(x\) مثبت می سازد، بیان شود (شکل \(\text{1.40}\)). از آنجا که \(\frac{x}{r}=\cos \theta\) و \(\frac{y}{r}=\sin \theta\)، داریم:


$$x=r \cos \theta \\


y = r \sin \theta$$

هنگامی که \(r=1\) باشد می توانیم قضیۀ فیثاغورث (Pythagorean theorem) را بر روی مثلث قائم الزاویۀ مرجع (reference right triangle) در شکل \(\text{1.45}\) بکار ببندیم و معادلۀ زیر را بدست آوریم:



این معادله برای تمامی مقادیر \(\theta\) صدق می کند، و پرکاربرد ترین اتحاد در مثلثات است. اگر این اتحاد را به نوبت بر \(\cos^2 \theta\) و \(\sin^2 \theta\) تقسیم کنید، نتایج زیر را بدست می آورید:


فرمولهای زیر برای تمامی زوایای \(A\) و \(B\) نگه داشته شده اند (تمرین 58). فرمول های جمع (Addition Formulas):


فرمولهای مشابهی برای \(\cos(A-B)\) و \(\sin (A-B)\) وجود دارند (تمرین های 35 و 36). تمامی اتحادهای مثلثاتی مورد نیاز در این کتاب از معادلات \((3)\) و \((4)\) مشتق شده اند. به عنوان مثال، جایگزینی \(\theta\) به جای \(A\) و \(B\) در فرمول های جمع (addition formulas)، نتایج زیر را به شما می دهد. فرمولهای زاویۀ مضاعف (Double-Angle Formulas):


فرمولهای دیگری از ترکیب این معادلات حاصل می شوند:
$$\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1\\
\cos^2 \theta - \sin^2 \theta = \cos 2\theta$$
ما این دو معادله را با یکدیگر جمع زده ایم تا به \(2 \cos^2 \theta = 1 + \cos 2\theta\) برسیم و دومی را از اولی تفریق کرده ایم تا به \(2 \sin^2 \theta = 1 - \cos 2\theta\) برسیم. این نتایج در اتحادهای زیر نشان داده شده اند، که در انتگرال گیری در حسابان سودمند می باشند. فرمول های نصف زاویه (Half-Angle Formulas):