در این آموزش در می یابیم که دامنۀ طبیعی و همینطور دامنه چه هستند و چه تفاوتی با یکدیگر دارند.

تفاوت دامنۀ طبیعی \(\text{(natural domain)}\) و دامنه \(\text{(domain)}\)

اولین سوالی که ممکن است برایتان پیش آمده باشد اینست که دامنۀ طبیعی و دامنه چه تفاوتی با یکدیگر دارند. در اینجا سعی من بر اینست که با ذکر مثال این موضوع را توضیح دهم:

هر تابعی یک دامنه (domain) دارد، مجموعۀ مقادیر ورودی (input) که در آن مقادیر تابع تعریف شده باشد. اگر بیان نکرده باشیم که دامنۀ یک تابع چیست، بنا به قرارداد تمامی اعداد حقیقی که به ازاء آنها آن عبارت تعریف شده (defined) باشد، یعنی قابل ارزیابی باشد، به عنوان دامنۀ آن تابع در نظر گرفته می شود. این را دامنۀ طبیعی آن تابع می نامیم.

بیایید به یک مثال نگاهی بیندازیم. تابع \(f(x)=\frac{1}{1-x}\) را در نظر بگیرید. این تابع می تواند به ازاء تمامی مقادیر \(x\) به جز \(x=1\) ارزیابی شود، اگر \(x\) را با \(1\) جایگزین کنیم، مخرج این کسر \(0\) می شود و همانطور که می دانیم تقسیم بر صفر در ریاضی تعریف نشده است. بنابراین تابع \(f(x)=\frac{1}{1-x}\) برای \(x=1\) تعریف نشده است. دامنۀ طبیعی این تابع \((-\infty,1) \cup (1,\infty)\) می باشد.

اگر می خواستیم می توانستیم دامنۀ این تابع را بنا به سلیقۀ شخصی خودمان یا بسته به نیازمان محدود کنیم، به عنوان مثال صراحتاً اعلام کنیم که دامنۀ مقادیر مجاز آن، مقادیر بزرگتر از \(1\) باشند. در این حالت دامنۀ این تابع \((1,\infty)\) می شد. چرا؟ چون ما خواستیم اینطور باشد! این دامنه طبیعی نیست؛ زیرا ما باید چیزی را تعریف می کردیم تا آن اینگونه می شد. در واقع با این محدودیتی که ما گذاشتیم، علیرغم اینکه تابع اصلی در حالت نرمال خودش دامنۀ به مراتب وسیع تری می داشت، محدودتر گشت. یک نکته را هم مدنظر داشته باشید، وقتی که برای یک تابعی دامنه ای را صراحتاً تعریف می کنیم باید دقت کنیم که در محدودۀ دامنۀ طبیعی خود آن تابع باشد.

اگر بخواهیم یک تعریف خلاصه تر و جمع و جور تر ارائه بدهیم، می توانیم بگوییم که دامنۀ طبیعی عبارت از تمامی مقادیر \(x\) است که آن تابع به ازاء آنها تعریف شده باشد (نه اینکه توسط مسأله تعریف شده باشد، بلکه توسط خود آن تابع تعریف شده باشد). در مقابل دامنه (یا دامنۀ محدود شده) توسط انسان ایجاد می شود. در واقع توسط مسأله، به هر دلیلی، دامنه محدود می شود.