در این آموزش با سهمی ها که در واقع نمودار توابع درجه دوم می باشند، آشنا می شویم. همچنین با ویژگی های یک سهمی (شلجمی) همچون رأس، محور تقارن، عرض از مبدأ، و طول از مبدأ ها آشنایی پیدا می کنیم.

ویژگی های سهمی ها (Features of Parabolas)

سهمی ها چندین ویژگی قابل تشخیص دارند که شکل آنها و محل قرار گیری آنها در صفحۀ دکارتی (Cartesian plane) را مشخص می کند.

رأس (Vertex)
یک ویژگی مهم سهمی اینست که یک نقطۀ انتهایی (extreme point) دارد، که رأس نام دارد. اگر سهمی رو به بالا باز شده باشد، رأس نشان دهندۀ پایین نقطه در آن نمودار، یا کوچکترین مقدار تابع درجه دوم مربوطه است. اگر سهمی رو به پایین باز شده باشد، رأس نشان دهندۀ بالاترین نقطه بر روی نمودار، یا بزرگترین مقدار تابع می باشد. در هر دو حالت رأس، یک نقطۀ برگشت (turning point) بر روی آن نمودار می باشد.

محور تقارن (Axis of Symmetry)
همچنین سهمی ها دارای یک محور تقارن می باشند که با محور \(y\) موازی می باشد. محور تقارن یک خط عمودی است که از رأس سهمی عبور می کند.

عرض از مبدأ (y-intercept)
عرض از مبدأ نقطه ای است که در آن سهمی از محور \(y\) عبور می کند. در نمودار توابع درجه دوم فقط می توانید یک عرض از مبدأ داشته باشید. اگر بیش از یک عرض از مبدأ داشته باشید، منحنی شما نشان دهندۀ یک تابع نمی باشد، زیرا در هر تابع به ازاء هر مقدار \(x\) می توانید فقط یک مقدار \(y\) داشته باشید. بنا به تعریف تابع در یک نقطۀ \(x\) مشخص که در اینجا \(x=0\) می باشد، شما فقط و فقط می توانید یک مقدار \(y\) داشته باشید.

طول از مبدأ ها (x-intercepts)
طول از مبدأ ها نقاطی هستند که در آنها سهمی از محور \(x\) عبور می کند. در صورتی که یک تابع درجه دوم دارای طول از مبدأ هایی باشد، آن طول از مبدأ ها نشان دهندۀ صفرها (zeros)، یا ریشه های (roots) آن تابع درجه دوم می باشند، طول از مبدأها مقادیری از \(x\) هستند که در آنها \(y=0\) است. در یک تابع درجه دوم می توانید صفر، یک، یا دو طول از مبدأ داشته باشید. بسته به موقعیت قرار گیری سهمی، تعداد این طول از مبدأ ها می تواند متفاوت باشد. تصاویر زیر هر سۀ این حالات را نشان می دهد.


برای بدست آوردن طول از مبدأ های یک تابع درجه دوم، آن تابع را برابر با صفر قرار می دهیم تا به یک معادلۀ درجه دوم تبدیل شود. سپس آن معادلۀ درجه دوم را حل می کنیم. پاسخ های این معادلۀ درجه دوم ریشه های آن تابع می باشند. ریشه ها در واقع همان طول از مبدأها هستند.

توجه داشته باشید که اگر در یک سهمی دو طول از مبدأ وجود داشته باشد، رأس همیشه بین آن دو ریشه قرار می گیرد. با توجه به این واقعیت که سهمی ها متقارن هستند، مختصات \(x\) رأس سهمی، دقیقاً در وسط مختصات های \(x\) این دو ریشه می باشند.