خوش آموز درخت تو گر بار دانش بگیرد، به زیر آوری چرخ نیلوفری را


ترسیم نمودار معادلات درجه دوم در شکل رأس (Vertex Form)

ترسیم نمودار معادلات درجه دوم در شکل رأس (Vertex Form)
نویسنده : امیر انصاری
توابع درجه دوم دارای دو شکل کلی می باشند که یکی با نام شکل استاندارد شناخته می شود و دیگری با نام شکل رأس شناخته می شود. طی این آموزش با شکل رأس از توابع درجه دوم بیشتر آشنا می شویم. همچنین نحوۀ تبدیل شکل رأس به استاندارد و برعکس آن یعنی شکل استاندارد به شکل رأس را نیز می آموزیم.

سیستم یکپارچۀ سازمانی راهکار



ترسیم نمودار معادلات درجه دوم در شکل رأس (Vertex Form)


شکل رأس (Vertex Form) در یک تابع درجه دوم، این امکان را می دهد تا رأس آن را به سادگی بیابیم.

نکات کلیدی:
  • یک شکل مهم از تابع درجه دوم، شکل رأس می باشد: \(f(x)=a(x-h)^2 + k\)
  • هنگامی که یک تابع درجه دوم به شکل رأس نوشته می شود، به سادگی می توانیم ببینیم که رأس آن در مختصات \((h,k)\) قرار دارد.
  • تبدیل شکل رأس به شکل استاندارد ساده است.
  • تبدیل از شکل استاندارد به شکل رأس مشکل تر است، اما هنوز هم شدنی است. این فرآیند شامل تکنیکی است که کامل کردن مربع (completing the square) نامیده می شود.

اصطلاحات کلیدی:
  • ثابت (constant): یک شناسه که به مقداری تغییر ناپذیر وابسته است.
  • رأس (vertex): یک نقطه بر روی منحنی دارای مینیمم موضعی (local minimum) یا ماکزیمم موضعی (local maximum).
  • درجه دوم (quadratic): یک چندجمله ای (polynomial) با درجۀ دو.

معادلات درجه دوم می توانند شکل های مختلفی داشته باشند. شما قبلاً شکل استاندارد آنها را دیده اید:
$$f(x)=ax^2+bx+c$$
شکل رایج دیگر آنها، شکل رأس نامیده می شود، دلیل این نامگذاری اینست که در این حالت گفتن محل قرار گیری رأس بسیار ساده است. شکل رأس اینگونه است:
$$f(x)=a(x-h)^2 + k$$
رأس \((h,k)\) است. توجه کنید که اگر شکل آن \(f(x)=a(x+h)^2+k\) باشد، رأس \((-h,k)\) خواهد بود. ضریب \(a\) مشابه شکل استاندارد درجه دوم ها، مشخص می سازد که سهمی رو به بالا یا رو به پایین باز می شود، علاوه بر آن سرعت کاهش یا افزایش سهمی را نیز مشخص می سازد.


تبدیل شکل رأس به شکل استاندارد


اگر بخواهید یک درجه دوم در شکل رأس را به شکل استاندارد آن تبدیل کنید، به سادگی کافیست مربع را حساب کنید و سپس جملات مشابه را با یکدیگر ترکیب کنید. برای مثال، به تبدیل تابع درجه دوم زیر از شکل رأس به شکل استاندارد آن دقت کنید:
$$y=(x-2)^2 + 1 \\
y=(x-2)(x-2) + 1 \\
y = x^2 -2x-2x+4+1 \\
y = x^2 -4x + 5$$

تبدیل از شکل استاندارد (Standard Form) به شکل رأس


تبدیل از شکل استاندارد به شکل رأس سخت تر است. این فرآیند "کامل کردن مربع" (completing the square) نامیده می شود.

تبدیل در حالتی که \(a=1\) باشد
این مثال را در نظر بگیرید: فرض کنید می خواهید \(y=x^2 + 4x + 6\) را در شکل رأس بنویسید. توجه کنید که ضریب \(x^2\) که آن را \(a\) می نامیم، برابر با \(1\) است. هنگامی که با چنین موردی مواجه باشیم، به ضریب \(x\) یعنی \(b\) نگاه می کنیم، و نصف آن را بدست می آوریم. سپس آن عدد را مربع می سازیم. بنابراین در این مثال، ما \(4\) را بر \(2\) تقسیم می کنیم تا \(2\) را بدست آوریم، و سپس آن را مربع می سازیم تا \(4\) را بدست آوریم.

سپس به شکل زیر این عدد را هم می افزاییم و هم تفریق می کنیم:
$$y=(x^2 + 4x + 4)+6 - 4$$
توجه کنید که ما هم \(4\) را افزوده ایم و هم آن را تفریق کرده ایم، بنابراین تابعمان را تغییر نداده ایم. حالا عبارت داخل پرانتز یک مربع می باشد، ما می توانیم آن را به شکل \(y=(x+2)^2 + 2\) بنویسیم. هم اکنون معادلۀ ما در شکل رأس می باشد و می توانیم ببینیم که رأس آن \((-2,2)\) است.

تبدیل در حالتی که \(a \ne 1\) باشد
در این حالت نسبت به حالتی که \(a=1\) است، اندکی کار سختتر است. البته هنوز هم از همان تکنیک استفاده می کنیم، اما اندکی در آن تغییرات می دهیم. دقت کنید که در این حالت ابتدا \(a\) را مشابه مثال زیر فاکتورگیری می کنیم.
تابع \(y=2x^2+12x+5\) را در نظر بگیرید. ما ضریب \(2\) را از دو جملۀ اول، فاکتور می گیریم، و آن را به شکل زیر می نویسیم:
\(y=2(x^2+6x)+5\)
سپس عملیات کامل کردن مربع را در داخل پرانتز انجام می دهیم. توجه کنید که نصف \(6\) برابر با \(3\) و \(3^2=9\) است. بنابراین ما \(9\) را در داخل پرانتز، اضافه و تفریق می کنیم، تا عبارت زیر بدست آید:
\(y= 2(x^2+6x+9-9)+5\)
سپس می توانیم این محاسبات را به شکل زیر به اتمام برسانیم:
$$y=2((x+3)^2 - 9) + 5 \\
y = 2(x+3)^2 - 18 +5\\
y=2(x+3)^2 - 13$$
بنابراین، رأس این سهمی \((-3,-13)\) می باشد.



نمایش دیدگاه ها (0 دیدگاه)

دیدگاه خود را ثبت کنید:

انتخاب تصویر ویرایش حذف
توجه! حداکثر حجم مجاز برای تصویر 500 کیلوبایت می باشد.