برای حل کردن یک معادلۀ درجه دوم چند روش مختلف وجود دارد. یکی از این روش ها اینست که آن را فاکتور گیری کنیم. روش دیگر اینست که از فرمول حل کردن معادلات درجه دوم استفاده کنیم. اما یک روش سومی هم وجود دارد که روش "کامل کردن مربع" (Completing the Square) نام دارد. طی این آموزش همراه با مثال به توضیح این روش می پردازیم.





برای درک روش کامل کردن مربع ابتدا ضرورت دارد که دو رابطۀ زیر را درک کنید:
$$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \\
(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $$
اگر از بحث اتحادها چیزی به خاطرتان مانده باشد به اینها، اتحادهای اول و دوم می گفتید. اتحاد اول "مربع مجموع دوجمله ای" و اتحاد دوم "مربع تفاضل دوجمله ای" می باشد. بد نیست بدانید چیزی که با نام "اتحادها" در جبر به ما یاد داده اند، در دنیای جهانی ریاضی با نام "Algebraic Identities" شناخته می شود.

شکل استاندارد معادلۀ درجه دوم اینگونه است:
$$ax^2 + bx+c=0$$
به یک مثال از معادلۀ درجه دوم نگاه کنید:
$$x^2+6x+9=0$$
اگر دقت کنید، این معادلۀ درجه دوم حاصلضرب یک دوجمله ای در خودش می باشد و در واقع معادل اتحاد اول است. اگر بخواهیم آن را به شکل "مربع مجموع دوجمله ای" بازنویسی کنیم، خواهیم داشت:
$$(x+3)^2 = x^2+6x+9$$
دانستن همین نکته، کلید درک روش کامل کردن مربع است. بیایید با یک مثال نسبتاً ساده کار را آغاز کنیم.

مثال 1:

معادلۀ درجه دوم زیر را با روش کامل کردن مربع حل کنید:
$$x^2+6x+7=0$$
در روش کامل کردن مربع هدف ما اینست که به یکی از دو اتحاد اول و دوم برسیم. برای این منظور یک سری مراحل را طی می کنیم که در اینجا به آن می پردازیم.

1. ابتدا مطمئن می شویم که معادله در شکل استاندارد \(ax^2+bx+c=0\) و به ترتیب توان جملات نوشته شده باشد. همانطور که می بینید در مثال جاری این شکل رعایت شده است.
   
   
2. اگر \(a \ne 1\) باشد، تمامی جملات معادله را بر \(a\) تقسیم می کنیم تا مقدار \(a\) برابر با \(1\) گردد. در این مثال چنین حالتی نداریم اما در مثال بعدی این حالت را پیش می آوریم.
   
   
3. سپس مقدار \(c\) را به سمت راست معادله منتقل می کنیم. در اینجا با توجه به اینکه \(c=7\) می باشد، با تفریق \(7\) از هر دو سمت این معادله به این هدف می رسیم:
   $$x^2+6x+7-7=0-7 \\
   x^2+6x=-7$$
   
4. حالا می خواهیم عددی را به هر دو سمت این معادله بیفزاییم که در نتیجۀ افزوده شدن آن عدد به معادله، به یکی از دو اتحاد اول یا دوم برسیم. برای این کار یک فرمول داریم و آن اینست که \((\frac{b}{2})^2\) را به هر دو سمت معادله می افزاییم. یعنی مقدار \(b\) را ابتدا نصف می کنیم و سپس به توان \(2\) می رسانیم. در این مثال \(b=6\) می باشد، و طبق این فرمول \((\frac{b}{2})^2 = (\frac{6}{2})^2 = 3^2 = 9\) می باشد، پس اینگونه عمل می کنیم:
   $$x^2+6x + 9 =-7 + 9 \\
   x^2 + 6x + 9 = 2$$
   
5. حالا سمت چپ این معادله را به شکل "مربع مجموع دوجمله ای" یا "مربع تفاضل دوجمله ای" می نویسیم. در اینجا "مربع مجموع دوجمله ای" را خواهیم داشت. چون علامت \(b\) مثبت می باشد.
   $$x^2+6x + 9=2 \\
   (x+3)^2 = 2$$
   
6. حالا یک معادله داریم که باید حلش کنیم. از آنجا که یک سمت این معادله به توان \(2\) رسیده است، برای پیدا کردن مقدار یا مقادیر \(x\)، جذر هر دو سمت این معادله را می گیریم:
   $$(x+3)^2 = 2 \\
   \sqrt{(x+3)^2} = \sqrt{2} \\
   x+3 = \pm \sqrt{2}$$
   
7. حالا برای اینکه به دنبال مقدار \(x\) هستیم، آن را در سمت چپ معادله منزوی می کنیم و سایر مقادیر را به سمت راست منتقل می کنیم. و با ساده سازی به پاسخ یا پاسخ های معادلۀ درجه دوم می رسیم:
   $$x+3 = \pm \sqrt{2} \\
   x +3 -3 = \pm \sqrt{2} -3 \\
   x= \pm \sqrt{2} -3$$
   این معادله دو پاسخ دارد که عبارت از \(x=-3 + \sqrt{2}\) و \(x=-3 - \sqrt{2}\) می باشند.
   

مثال 2:

معادلۀ درجه دوم زیر را با روش کامل کردن مربع حل کنید:
$$2x^2-10x-3=0$$
پاسخ:
$$2x^2-10x-3=0 \\
\frac{2x^2}{2}-\frac{10}{2}x-\frac{3}{2}=0 \\
x^2-5x-\frac{3}{2}=0 \\
x^2-5x = \frac{3}{2} \\
x^2-5x + (\frac{5}{2})^2 = \frac{3}{2} + (\frac{5}{2})^2 \\
x^2 - 5x + \frac{25}{4} = \frac{3}{2} + \frac{25}{4} \\
(x - \frac{5}{2})^2 = \frac{3}{2} + \frac{25}{4} \\
(x - \frac{5}{2})^2 = \frac{6}{4} + \frac{25}{4} \\
(x - \frac{5}{2})^2 = \frac{31}{4} \\
\sqrt{(x - \frac{5}{2})^2} = \pm \sqrt{\frac{31}{4}} \\
x - \frac{5}{2} = \pm \sqrt{\frac{31}{4}} \\
x - \frac{5}{2} = \pm \frac{\sqrt{31}}{2} \\
x = \pm \frac{\sqrt{31}}{2} + \frac{5}{2} \\
x=\frac{5 \pm \sqrt{31}}{2}
$$