اگر معادلات درجه دوم را حل کرده باشید، حتماً با این فرمول آشنایی دارید. اما این فرمول از کجا آمده است. در این آموزش به چگونگی رسیدن به این فرمول می پردازیم. این فرمول در واقع نتیجۀ حل کردن شکل استاندارد معادلۀ درجه دوم، یعنی \(ax^2 + bx + c = 0\)، با روش کامل کردن مربع می باشد. اگر با روش کامل کردن مربع آشنایی ندارید اینجا کلیک کنید و قبل از این آموزش آن را بخوانید.

1. با شکل استاندارد معادلۀ درجه دوم (quadratic equation) کار را آغاز می کنیم:
   $$ax^2 + bx + c = 0$$
   
2. طبق روش کامل کردن مربع هر دو سمت این معادله را بر \(a\) تقسیم می کنیم:
   $$\frac{ax^2}{a} + \frac{bx}{a} + \frac{c}{a} = \frac{0}{a} \\
   x^2 + \frac{b}{a}x +\frac{c}{a} = 0$$
   
3. \(c\) را به سمت راست معادله می بریم:
   $$x^2 + \frac{b}{a}x +\frac{c}{a} - \frac{c}{a} = 0 - \frac{c}{a} \\
   x^2 + \frac{b}{a}x =-\frac{c}{a} $$
   
4. طبق روش کامل کردن مربع، مقداری را به هر دو سمت این معادله می افزاییم که در سمت چپ معادله به یک مربع کامل برسیم:
   $$
   x^2 + \frac{b}{a}x + \biggl( \frac{\frac{b}{a}}{2} \biggl)^2 =-\frac{c}{a} + \biggl( \frac{\frac{b}{a}}{2} \biggl)^2 \\
   x^2 + \frac{b}{a}x + \biggl( \frac{b}{2a} \biggl)^2 =-\frac{c}{a} + \biggl( \frac{b}{2a} \biggl)^2 \\
   x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{b^2}{4a^2} =-\frac{c}{a} + \frac{b^2}{4a^2} \\
   x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{b^2}{4a^2} =-\frac{4ac}{4a^2} + \frac{b^2}{4a^2} \\
   x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{b^2}{4a^2} =\frac{b^2-4ac}{4a^2}
   $$
   
5. هم اکنون سمت چپ این معادله یک مربع کامل می باشد و می توانیم آن را به شکل مربع کامل بازنویسی کنیم:
   $$(x+\frac{b}{2a})^2 = \frac{b^2-4ac}{4a^2}$$
   
6. اکنون جذر هر دو سمت معادله را می گیریم:
   $$
   \sqrt{(x+\frac{b}{2a})^2} =\pm \sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}} \\
   x+\frac{b}{2a} =\pm \sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}} \\
   x+\frac{b}{2a} =\pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{\sqrt{4a^2}} \\
   x+\frac{b}{2a} =\pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}
   $$
   
7. حالا \(x\) را در سمت چپ این معادله منزوی می کنیم، در این مرحله به فرمول معادلۀ درجه دوم می رسیم و این اثبات کامل می شود:
   $$
   x =-\frac{b}{2a} \pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\
   x =\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}
   $$