در این تمرین قصد داریم تا با استفاده از دو روش متفاوت یک تابع درجه دوم را که در شکل استاندارد می باشد، در شکل رأس بازنویسی کنیم.

سوال

تابع درجه دوم زیر را که در شکل استاندارد می باشند، به شکل رأس بنویسید. $$
y=-2x^2-24x-75
$$

پاسخ کوتاه

$$
y=-2(x+6)^2-3
$$

راهنمایی در مورد مفاهیم این تمرین

• تبدیل شکل استاندارد به شکل رأس در تابع درجه دوم

راه حل 1

این راه حل با استفاده از روش کامل کردن مربع (completing the square) انجام شده است.
$$
y=-2x^2-24x-75 \\
y+75=-2x^2-24x \\
y+75=-2(x^2+12x) \\
y+75+(-2)(\text{___})=-2(x^2+12x+\text{___}) \\
y+75+(-2)(\color{red}{36})=-2(x^2+12x+\color{red}{36}) \\
y+75-72=-2(x^2+12x+36) \\
y+3=-2(x^2+12x+36) \\
y+3=-2(x+6)^2 \\
y=-2(x+6)^2-3
$$

راه حل 2

در این راه حل از روش فرمول های میان بُر برای پیدا کردن \(h\) و \(k\) استفاده شده است.
ابتدا با استفاده از فرمول های میان بُر، از روی شکل استاندارد معادله، مقادیر \(h\) و \(k\) را بدست می آوریم:
$$
h=\frac{-b}{2a}=\frac{-(-24)}{2(-2)}=\frac{24}{-4}=-6
$$
$$
k=f(h)=f(-6)\\
f(-6)=-2(-6)^2-24(-6)-75=-2(36)+144-75=-72+144-75=-3
$$
هم اکنون مقادیر \(h\) و \(k\) را داریم، همچنین می دانیم که مقدار ضریب \(a\) در شکل استاندارد و شکل رأس با هم برابرند، پس \(a=-2\) خواهد بود. حالا با دانستن این مقادیر اقدام به بازنویسی این تابع در شکل رأس می کنیم:
$$
y=a(x-h)^2+k \\
y=-2(x-(-6))^2+(-3)\\
y=-2(x+6)^2-3
$$