در این آموزش می خواهیم از روی شکل رأس از یک تابع درجه دوم، نمودار آن را ترسیم کنیم. شکل رأس اطلاعات خیلی مفیدی را برای ترسیم نمودار تابع درجه دوم در اختیار ما می گذارد. اطلاعاتی همچون رأس سهمی (شلجمی)، و محور تقارنِ سهمی را می توان از روی شکل رأس استخراج کرد. اگر تابع درجه دوم را در شکل استاندارد به شما داده باشند و بخواهید آن را به شکل رأس تبدیل کنید می توانید آموزشش را اینجا بیابید.

ترسیم نمودار یک تابع درجه دوم از روی شکل رأس آن

برای درک بهتر موضوع از یک مثال استفاده می کنیم و آموزش را همراه با آن پیش می بریم.

مثال: نمودار تابع \(y=3(x-2)^2-4\) را ترسیم کنید.

1. ابتدا با تابع در شکل رأس آغاز کنید:
   $$y=a(x-h)^2+k \\
   y=3(x-2)^2-4$$
   
2. مقادیر \(h\) و \(k\) را از تابع بیرون بکشید. اگر لازم باشد تابع را دقیقاً در شکل رأس بازنویسی کنید تا مقادیر را بدرستی استخراج کنید. مختصات رأس (vertex) برابر با \((h,k)\) می باشد.
   $$
   y=3(x-2)^2+(-4) \\
   h=2 \\
   k=-4 \\
   \text{Vertex: } (2,-4)
   $$
   
3. رأس را روی صفحۀ مختصات مشخص کنید.
   
   برای بزرگنمایی تصویر روی آن کلیک کنید
   
4. خط \(x=h\) محور تقارن (axis of symmetry) سهمی می باشد. آن را ترسیم کنید.
   $$x=h\\
   x=2$$
   
   برای بزرگنمایی تصویر روی آن کلیک کنید
   
5. دو یا سه نقطه در یک سمت از محور تقارن را با جایگذاری مقادیر \(x\) در معادلۀ تابع مشخص کنید. در این مسأله ما دو نقطه در سمت چپ محور تقارن را مشخص کرده ایم.
   $$x=1; \\
   y = f(1) = 3(1-2)^2-4= 3(-1)^2-4=3(1)-4=3-4=-1 \\
   x=0; \\
   y = f(0) = 3(0-2)^2 - 4=3(-2)^2-4=3(4)-4=12-4=8$$
   حالا نقاط بدست آمده یعنی، \((1,-1)\) و \((0,8)\) را روی صفحۀ مختصات مشخص کنید.
   
   برای بزرگنمایی تصویر روی آن کلیک کنید
   
6. با توجه به اینکه می دانیم سهمی یک شکل متقارن می باشد، با استفاده از محور تقارن و نقاطی که داریم، نقاط متقارن آنها در سمت دیگر سهمی را نیز ترسیم می کنیم. و نمودار سهمی را می کشیم.
   
   برای بزرگنمایی تصویر روی آن کلیک کنید

تمرینات

برای اینکه مهارت شما در ترسیم نمودار تابع درجه دوم با استفاده از شکل رأس افزایش یابد، بهتر است تمرینات زیر را حل کنید. هر چند پاسخ تمرین ها را نیز برایتان قرار داده ایم، اما ابتدا سعی کنید که خودتان پاسخ این تمرینات را بدست آورید.

نمودار توابع زیر را که در شکل رأس می باشند، ترسیم کنید.

1. $$y=8(x-1)^2 + 19$$
   برای مشاهدۀ پاسخ تشریحی این تمرین اینجا کلیک کنید.
   
2. $$y=5(x-4)^2-13$$
   برای مشاهدۀ پاسخ تشریحی این تمرین اینجا کلیک کنید.
   
3. $$y=5(x+2)^2-9$$
   برای مشاهدۀ پاسخ تشریحی این تمرین اینجا کلیک کنید.
   
4. $$y=-3(x-4)^2 +7$$
   برای مشاهدۀ پاسخ تشریحی این تمرین اینجا کلیک کنید.
   
5. $$y=5(x-1)^2+32$$
   برای مشاهدۀ پاسخ تشریحی این تمرین اینجا کلیک کنید.
   
6. $$y=7(x+2)^2-9$$
   برای مشاهدۀ پاسخ تشریحی این تمرین اینجا کلیک کنید.
   
7. $$y=-2(x+6)^2-3$$
   برای مشاهدۀ پاسخ تشریحی این تمرین اینجا کلیک کنید.
   
8. $$y=(x-2)^2 +6$$
   برای مشاهدۀ پاسخ تشریحی این تمرین اینجا کلیک کنید.
   
9. $$y=3(x-3)^2 -12$$
   برای مشاهدۀ پاسخ تشریحی این تمرین اینجا کلیک کنید.
   
10. $$y=-2(x+1)^2 +3$$
    برای مشاهدۀ پاسخ تشریحی این تمرین اینجا کلیک کنید.