انتقال های افقی و عمودی در توابع: بخش 2

در این آموزش به انتقال های افقی و عمودی (Horizontal and Vertical Translations) در توابع می پردازیم.

این آموزش بخشی از یک مجموعه آموزش می باشد که آموزش اول این مجموعه و فهرست آموزش های آن را می توانید در اینجا مشاهده کنید.

مفاهیم را به یکدیگر مرتبط سازید

تبدیل (transformation) در یک تابع، معادلۀ آن و هر ترکیبی از موقعیت های آن، شکلش، و جهت نمودارش را تغییر می دهد.

تبدیل (transformation): تغییری که در یک شکل یا یک رابطه ایجاد می شود، به نحویکه آن شکل یا نمودار آن رابطه جابجا شود یا شکلش تغییر کند.

نقاط موجود بر روی نمودار اصلی، با نقاط موجود بر روی نمودار تبدیل شده، متناظر می باشند. ارتباط بین این مجموعه نقاط را "نگاشت" (mapping) می نامند.

نگاشت (mapping): مرتبط ساختن یک مجموعه از نقاط با مجموعۀ دیگری از نقاط، به نحوی که هر نقطه در مجموعۀ اصلی دقیقاً با یک نقطه در مجموعۀ دوم متناظر باشد.

برای نشان دادن ارتباط بین مختصات های یک مجموعه از نقاط، $(x,y)$، و مختصات های مجموعه نقاط متناظر آنها، $(x,y+3)$، می توان از نماد نگاشت (Mapping notation) استفاده کرد، برای مثال:
$$
(x,y) \to (x, y+3)
$$

آیا می دانستید؟
نماد نگاشت یک نماد جایگزین برای نماد تابع می باشد. برای مثال، $f(x) = 3x + 4$ را می توان به شکل $f: x \to 3x + 4$ نوشت. این را اینگونه می خوانند: $f$ تابعی است که $x$ را به $3x+4$ نگاشت می کند. در انگلیسی آن را اینگونه می خوانند: $\text{ “f is a function that maps x to 3x + 4.”}$

یک نوع از تبدیل (transformation)، انتقال (translation) نام دارد. یک انتقال می تواند نمودار یک تابع را به سمت بالا، پایین، چپ، یا راست جابجا کند. انتقال زمانی رخ می دهد که موقعیت یک نمودار تغییر کند اما شکل یا جهتش عوض نشود.

انتقال (translation):

یک تبدیل لغزیدنی که نتیجۀ آن جابجایی یک نمودار بدون تغییر شکل یا جهتش می باشد.
انتقال های عمودی و افقی، انواعی از تبدیلات با معادلاتی به ترتیب در شکل $y-k=f(x)$ و $y=f(x-h)$ هستند.
یک نمودار منتقل شده، با نمودار اصلی اش همنهشت (congruent) می باشد. (همنهشتی یک مفهوم هندسی به معنای هم شکل و هم اندازه بودن است)

مثال 1

تبدیلات در شکل $y-k=f(x)$ و $y=f(x-h)$ را ترسیم کنید

نمودار توابع $y=x^2$، $y-2 = x^2$، و $y=(x-5)^2$ را در محور مختصات یکسانی ترسیم کنید.
توصیف کنید که چگونه نمودارهای $y-2 = x^2$ و $y = (x-5)^2$ با نمودار $y=x^2$ مقایسه می شوند.

پاسخ مثال 1

نماد $y - k = f(x)$ اغلب به جای $y = f(x) + k$ استفاده می شود تا بر روی این نکته تأکید کند که این تبدیلی بر روی $y$ می باشد. در این مورد، تابع اصلی $f(x)=x^2$ می باشد و مقدار $k$ برابر با $2$ می باشد.

نماد $y= f(x-h)$ نشان می دهد که این تبدیلی بر روی $x$ می باشد. در این مورد، تابع اصلی $f(x) = x^2$ می باشد و مقدار $h$ برابر با $5$ می باشد.

این نمادها را به هر شکل که مورد نیاز باشد، بازچینش کنید تا $y$ در یک سمت معادله تنها بماند، و از جدولی از مقادیر استفاده کنید تا با کمک آن نمودار این توابع را ترسیم کنید.

در مورد $y = x^2 + 2$، مقادیر ورودی یکسان هستند، اما مقادیر خروجی تغییر می کنند. هر نقطۀ $(x,y)$ بر روی نمودار $y=x^2$ به نقطۀ $(x,y+2)$ تغییر می کند.

در مورد $y= (x-5)^2$، برای اینکه مقادیر خروجی یکسانی با تابع اصلی را حفظ کنیم، مقادیر ورودی متفاوت خواهند بود. هر نقطۀ $(x,y)$ بر روی نمودار $y=x^2$ به نقطۀ $(x+5,y)$ تبدیل می شود.
نمودارهای تبدیل شده با نمودار $y=x^2$ همنهشت می باشند.

هر نقطۀ $(x,y)$ بر روی نمودار $y=x^2$ به نقطۀ $(x,y+2)$ بر روی نمودار $y-2 = x^2$ تبدیل می گردد. با استفاده از نماد نگاشت خواهیم داشت: $(x,y) \to (x, y +2)$.

بنابراین، نمودار $y-2 = x^2$ ، در واقع همان نمودار $y=x^2$ است که به صورت عمودی $2$ واحد به سمت بالا منتقل شده است.

هر نقطۀ $(x,y)$ بر روی نمودار $y=x^2$ به نقطۀ $(x+5,y)$ بر روی نمودار $y=(x-5)^2$ تبدیل شده است. در نماد نگاشت خواهیم داشت: $(x,y) \to (x+5,y)$.

بنابراین، نمودار $y=(x-5)^2$ در واقع همان نمودار $y=x^2$ است که به صورت افقی $5$ واحد به سمت راست منتقل شده است.