در این آموزش به انتقال های افقی و عمودی (Horizontal and Vertical Translations) در توابع می پردازیم.

پرسش

نمودار \(y=f(x)\) به شما داده شده است، نمودار توابع تبدیل شدۀ زیر را بکشید. تبدیلاتی را که بر روی نمودار \(f(x)\) اِعمال می گردند تا نمودار تابع تبدیل شده بدست آید را توصیف کنید. سپس، تبدیل مربوطه را با استفاده از نماد نگاشت بنویسید.

1. $$
   r(x) = f(x+4)-3
   $$
   
2. $$
   s(x)=f(x-2)-4
   $$
   
3. $$
   t(x)=f(x-2)+5
   $$
   
4. $$
   v(x)=f(x+3)+2
   $$
   

پاسخ

برای حل این تمرین لازم است که ابتدا تابع تبدیل شده را در شکل \(y-k=f(x-h)\) بنویسیم تا مقادیر \(h\) و \(k\) را از روی آن بدست آوریم. سپس با نگاشت عمومی \((x,y) \to (x+h,y+k)\) می توانیم، نماد نگاشت را بدست آوریم. بعد از بدست آوردن نماد نگاشت، به ازاء هر کدام از نقاط اصلی یک نقطۀ تصویر می سازیم و با نماد نگاشت مختصات آن را بدست می آوریم. در پایان با استفاده از این نقاط تصویر، نمودار تابع منتقل شده را ترسیم می کنیم.

1. $$
   r(x) = f(x+4)-3 \\
   r(x) + 3 = f(x+4) \\
   r(x) - (-3) = f(x-(-4)) \\
   h=-4, k=-3 \\
   (x,y) \to (x -4, y-3 ) \\
   A(-4,3) \to A'(-8,0)\\
   B(-3,1) \to B'(-7,-2) \\
   C(-1,1) \to C'(-5,-2) \\
   D(1,2) \to D'(-3,-1) \\
   E(2,2) \to E'(-2,-1)
   $$
   یک انتقال عمودی به میزان \(3\) واحد به سمت پایین و یک انتقال افقی به میزان \(4\) واحد به سمت چپ.
   
   
2. $$
   s(x)=f(x-2)-4 \\
   s(x) + 4=f(x-2)\\
   s(x) - (-4)=f(x-2)\\
   h=2, k=-4 \\
   (x,y) \to (x+2 , y-4 )\\
   A(-4,3) \to A'(-2,-1)\\
   B(-3,1) \to B'(-1,-3) \\
   C(-1,1) \to C'(1,-3) \\
   D(1,2) \to D'(3,-2) \\
   E(2,2) \to E'(4,-2)
   $$
   یک انتقال عمودی به میزان \(4\) واحد به سمت پایین و یک انتقال افقی به میزان \(2\) واحد به سمت راست.
   
   
3. $$
   t(x)=f(x-2)+5 \\
   t(x) - 5 =f(x-2) \\
   h=2, k=5 \\
   (x,y) \to (x+2 , y+5 ) \\
   A(-4,3) \to A'(-2,8)\\
   B(-3,1) \to B'(-1,6) \\
   C(-1,1) \to C'(1,6) \\
   D(1,2) \to D'(3,7) \\
   E(2,2) \to E'(4,7)
   $$
   انتقال عمودی \(5\) واحد به سمت بالا و انتقال افقی \(2\) واحد به سمت راست.
   
   
4. $$
   v(x)=f(x+3)+2 \\
   v(x) - 2=f(x+3) \\
   v(x) - 2=f(x-(-3)) \\
   h=-3, k=2 \\
   (x,y) \to (x-3 , y+2 )\\
   A(-4,3) \to A'(-7,5)\\
   B(-3,1) \to B'(-6,3) \\
   C(-1,1) \to C'(-4,3) \\
   D(1,2) \to D'(-2,4) \\
   E(2,2) \to E'(-1,4)
   $$
   انتقال عمودی \(2\) واحد به سمت بالا و انتقال افقی \(3\) واحد به سمت چپ.