اعداد راه پله ای: عدد راه پله ای (staircase number) تعداد مکعب های مورد نیاز برای ساختن یک راه پله است که دست کم دو پله داشته باشد. آیا الگویی برای تعداد مکعب ها در اعداد راه پله ای متوالی وجود دارد؟ چگونه می توانید اعداد راه پله ای متفاوت را پیش بینی کنید.

قسمت \(\text{A}\): اعداد راه پله ای دو مرحله ای

برای تولید یک عدد راه پله ای دو مرحله ای، تعداد مکعب های دو ستون پیاپی را با یکدیگر جمع بزنید.

اولین عدد راه پله ای برابر با مجموع تعداد مکعب های ستون \(1\) و ستون \(2\) می باشد.


برای بدست آوردن عدد راه پله ای دوم، تعداد مکعب های ستون \(2\) و ستون \(3\) را با یکدیگر جمع بزنید.


برای بدست آوردن عدد راه پله ای سوم، تعداد مکعب های ستون \(3\) و ستون \(4\) را با یکدیگر جمع بزنید.

1. این جدول را با تعداد مکعب های مورد نیاز برای هر عدد راه پله ای از یک پلۀ دو مرحله ای کامل کنید.
   
   
   ترجمۀ جدول (همراه با پاسخ آن)
   

   شمارۀ عدد راه پله ای	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
   عدد راه پله ای (تعداد مکعب های مورد نیاز)	3	5	7	9	11	13	15	17	19	21

بخش \(B\): اعداد راه پله ای سه مرحله ای

برای تولید کردن یک عدد راه پله ایِ سه مرحله ای، تعداد مکعب های سه ستون متوالی را با یکدیگر جمع بزنید.

اولین عدد راه پله ای برابر با مجموع تعداد مکعب های ستون \(1\)، ستون \(2\)، و ستون \(3\) می باشد.

برای بدست آوردن عدد راه پله ای دوم، تعداد مکعب های ستون های \(2\)، \(3\)، و \(4\) را با یکدیگر جمع بزنید.

برای بدست آوردن عدد راه پله ای سوم، تعداد مکعب های موجود در ستون های \(3\)، \(4\)، و \(5\) را با یکدیگر جمع بزنید.

2. این جدول را با تعداد مکعب های مورد نیاز برای هر مرحله از یک راه پلۀ سه مرحله ای، کامل کنید.
   
   
   ترجمۀ جدول (همراه با پاسخ آن)
   

   شمارۀ عدد راه پله ای	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
   عدد راه پله ای (تعداد مکعب های مورد نیاز)	6	9	12	15	18	21	24	27	30	33

   
   
3. فرآیند مشابهی می تواند برای اعداد راه پله ای بیش از سه مرحله مورد استفاده قرار گیرد. جدول زیر را با تعداد مکعب های مورد نیاز برای اعداد راه پله ای تا شش مرحله کامل کنید.
   
   
   ترجمۀ جدول (همراه با پاسخ آن)
   

   شمارۀ عدد راه پله ای	تعداد مرحله ها در راه پله
   	2	3	4	5	6
   1	3	6	10	15	21
   2	5	9	14	20	27
   3	7	12	18	25	33
   4	9	15	22	30	39
   5	11	18	26	35	45
   6	13	21	30	40	51

   
   
4. الگوی تعداد مکعب ها در یک راه پلۀ دو مرحله ای را توصیف کنید.
   
   
5. چگونه می توانید تعداد مکعب ها را در ردیف \(11\)ام و \(12\)ام یک راه پلۀ دو مرحله ای بیابید؟
   
   
6. استراتژیتان برای تعیین تعداد مکعب های مورد نیاز راه پله ها در سه، چهار، پنج، یا شش مرحله را توضیح دهید.
   

تأمل کنید و پاسخ دهید

7. 1. آیا تعداد مکعب های را به عنوان یک دنباله (sequence) - دنباله یک لیست مرتب شده از عناصر می باشد - توصیف می کنید؟
      
   2. الگوهایی را که مشاهده کردید، توصیف کنید.
      
   
   
8. 1. در دنباله های تولید شده برای راه پله های بیش از دو مرحله، چگونه هر عدد از روی عدد قبلی تولید شده است؟
      
   2. آیا این تفاضل در کل دنباله یکسان است؟
      
   
   
9. 1. اگر از شما درخواست شود که \(100\)امین ردیف در یک راه پلۀ دو مرحله ای را بیابید، چگونه آن را پیدا می کنید؟
      
   2. از روی مشاهداتتان دربارۀ الگویی که شما را قادر می سازد تا \(100\)امین عدد را محاسبه کنید، فرمولی استخراج کنید.
      
   3. یک فرمول کلی استخراج کنید که با استفاده از آن بتوانید \(n\)امین عدد را محاسبه کنید.