خوش آموز درخت تو گر بار دانش بگیرد، به زیر آوری چرخ نیلوفری را
مثال 3: جملۀ اول، جملۀ nام، و n را تعیین کنید
جاناتان یک شغل پاره وقت در یک خواروبار فروشی دارد. از او خواسته شده است تا جعبه های غلات صبحانه را با جلوه ای زیبا بچیند. شش ردیف اول چینش او در تصویر زیر نمایش داده شده اند. تعداد جعبه ها در ردیف ها یک دنبالۀ هندسی را تولید می کنند. در سومین ردیف از پایین \(16\) جعبه وجود دارد، و در هشتمین ردیف از پایین \(6\) جعبه وجود دارد.
به جاناتان مسئولیت پُشته کردن قوطی ها، مشابه آن طراحی که در مورد جعبه های غلات صبحانه انجام داده بود، داده شده است. تعداد قوطی ها در ردیف ها یک دنباله حسابی تولید می کند. سه ردیف بالا به شما نشان داده شده اند. در هشتمین ردیف از پایین \(14\) قوطی وجود دارد، و در دوازدهمین ردیف از پایین، \(10\) قوطی وجود دارد. \(t_1\)، \(d\)، و \(t_n\) را برای این دنبالۀ حسابی تعیین کنید.
-
در آخرین ردیف (اولین ردیف از پایین) چند جعبه وجود دارد؟
-
جملۀ عمومی، \(t_n\) را برای این دنباله تعیین کنید.
-
تعداد ردیف های این چینش چند ردیف می باشند؟
پاسخ
-
روش 1: استفاده از استدلال منطقی
این شکل شش ردیف اول را نشان می دهد. از روی تصویر می توانید ببینید که تعداد جعبه ها از پایین به بالا در هر ردیف به میزان \(2\) عدد کاهش می یابد. بنابراین \(d=-2\). -
از فرمول جملۀ عمومی دنباله استفاده کنید.
$$
t_n = t_1 + (n-1)d \\
t_n = \color{red}{20} + (n-1)(\color{red}{-2}) \\
t_n = -2n + 22
$$
جملۀ عمومی این دنباله برابر با \(t_n = -2n + 22\) می باشد.
-
بالاترین ردیف این پُشته، که در واقع معادل آخرین ردیف دنباله است، شامل دو جعبه است.
از جملۀ عمومی برای یافتن تعداد ردیف ها استفاده کنید.
$$
t_n = -2n + 22 \\
\color{red}{2} = -2n + 22 \\
-20 = -2n \\
10 =n
$$
تعداد ردیف های این دنباله، ده ردیف است.
همچنین می توانید این واقعیت را لحاظ کنید که در سومین ردیف از پایین \(16\) جعبه وجود دارد و در هشتمین ردیف از پایین \(6\) جعبه وجود دارد. نتیجه اش این می شود که اختلاف بین \(5\) ردیف برابر با \(10\) جعبه می باشد. از آنجا که مقادیر کاهش می یابند، داریم \(d=-2\).
مقادیر معلوم را در فرمول جایگذاری کنید تا به جملۀ عمومی برسید.
$$
t_n=t_1 + (n-1)d \\
\color{red}{16} = t_1 + (\color{red}{3}-1)(\color{red}{-2}) \\
16 = t_1 - 4 \\
20 = t_1
$$
تعداد جعبه ها در آخرین ردیف برابر با \(20\) می باشد.
روش 2: از جبر استفاده کنید
از آنجا که هم \(t_1\) و هم \(d\) هر دو مجهول هستند، می توانید از دو معادله برای تعیین آنها استفاده کنید. با استفاده از فرمول جملۀ عمومی یک دنبالۀ هندسی، معادله ای برای \(t_3\) و معادله ای برای \(t_8\) بنویسید.
$$
t_n = t_1 + (n-1)d
$$
برای \(n=3\)
$$
16 = t_1 + (\color{red}{3} - 1)d \\
16 = t_1 + 2d
$$
برای \(n=8\)
$$
6=t_1 + (\color{red}{8} - 1)d \\
6 = t_1 + 7d
$$
این دو معادله را از یکدیگر تفریق کنید.
$$
\begin{array}{c}
16 = t_1 + 2d \\
6 = t_1 + 7d \\ \hline
10 = -5d \\
-2 = d
\end{array}
$$
مقدار \(d\) را در معادلۀ اول جایگذاری کنید.
$$
16=t_1 + 2d \\
16 = t_1 + 2(-2) \\
16 = t_1 -4 \\
20 = t_1
$$
دنبالۀ این جعبه های روی هم انباشته شده عبارت از \(20,18,16,...\) می باشد.
تعداد جعبه ها در پایین ترین ردیف برابر با \(20\) می باشد.
حالا نوبت شماست
به جاناتان مسئولیت پُشته کردن قوطی ها، مشابه آن طراحی که در مورد جعبه های غلات صبحانه انجام داده بود، داده شده است. تعداد قوطی ها در ردیف ها یک دنباله حسابی تولید می کند. سه ردیف بالا به شما نشان داده شده اند. در هشتمین ردیف از پایین \(14\) قوطی وجود دارد، و در دوازدهمین ردیف از پایین، \(10\) قوطی وجود دارد. \(t_1\)، \(d\)، و \(t_n\) را برای این دنبالۀ حسابی تعیین کنید.
یادداشت مترجم: پاسخ حالا نوبت شماست را در قسمت دیدگاه ها درج کنید.
لیست دوره های آموزش ریاضی در سایت خوش آموز
برای مشاهدۀ همۀ دوره های ریاضی اینجا کلیک کنید.
- دوره آموزشی رایگان ریاضی پایه و پیش جبر
- تمرینات دوره آموزشی ریاضی پایه و پیش جبر
- دوره آموزشی رایگان جبر 1
- دوره آموزشی رایگان جبر 2
- دوره آموزشی رایگان هندسه
- دوره آموزشی رایگان مثلثات
- دوره آموزشی رایگان پیش حسابان 1
- دوره آموزشی رایگان حسابان 1
- آموزش رایگان حسابان پیشرفته
برای مشاهدۀ همۀ دوره های ریاضی اینجا کلیک کنید.
نمایش دیدگاه ها (0 دیدگاه)
دیدگاه خود را ثبت کنید: