در فرآیند مشخص ساختن مجموع اعداد \(1\) تا \(100\)، گاوس اصول اساسی سری حسابی (arithmetic series) را کشف کرد.






\(S_n\) نشان دهندۀ مجموع \(n\) جملۀ اول یک سری می باشد.

در سری \(2+4+6+8+\text{...}\)، نماد \(S_4\) نشان دهندۀ مجموع چهار جملۀ اول می باشد.

شما می توانید از روش گاوس برای استخراج فرمولی جهت مجموع یک سری حسابی عمومی استفاده کنید.

سری حسابی عمومی می تواند به شکل زیر نوشته شود:
$$
t_1 + (t_1+d) + (t_1 + 2d) + \text{ ... } + [t_1+(n-3)d)] + [t_1+(n-2d)] + [t_1+(n-1)d]
$$
در این سری، \(t_1\) اولین جمله، \(n\) تعداد جملات، و \(d\) قدرنسبت می باشد.

از روش گاوس استفاده کنید.
این سری را دوبار بنویسید، یک بار در ترتیب صعودی و بار دیگر در ترتیب نزولی. سپس این دو سری را با یکدیگر جمع بزنید.
$$
\begin{array}{c c c}
S_n =& t_1 + (t_1+d) + \text{ ... } + [t_1+(n-2)d] + [t_1+(n-1)d] & \\[2ex]
S_n =& [t_1+(n-1)d] + [t_1+(n-2)d] + \text{ ... } + (t_1+d) + t_1 & \\[2ex]
\hline
2S_n =& [2t_1+(n-1)d] + [2t_1 + (n-1)d] + \text{ ... } + [2t_1 + (n-1)d] + [2t_1 + (n-1)d] & \\[2ex]
2S_n =& n[2t_1+(n-1)d] & \\[2ex]
S_n= & \frac{n}{2}[2t_1+(n-1)d] &
\end{array}
$$


یک تغییر در این فرمول عمومی می تواند با جایگزینی \(t_n\) از فرمول عمومی دنبالۀ عمومی صورت پذیرد.
$$
S_n = \frac{n}{2}\biggl[ 2t_1 + (n-1)d \biggr]\\
S_n = \frac{n}{2} \biggl[ t_1 + t_1 (n-1)d \biggr]
$$
از آنجا که \(t_n=t_1+(n-1)d\) است، از این رابطه برای تغییر فرمول بالا استفاده می کنیم:
$$
S_n = \frac{n}{2}(t_1 + \color{red}{t_n})
$$