کرم های شب تاب نر در الگوهای مختلفی نور می تابانند تا موقعیتشان را اطلاع دهند یا اینکه شکارچیان را دور کنند. در گونه های متفاوت کرم های شب تاب، نورشان ویژگی های مختلفی دارد، به عنوان نمونه در شدت نور، نرخ تابیدن، و شکل تابش متفاوتند. فرض کنید در شرایط خاصی، یک نوع خاص از کرم های شب تاب، در دقیقۀ اول دو بار نور بتاباند، در دقیقۀ دوم چهار بار نور بتاباند، و در دقیقۀ سوم شش بار نور بتاباند.

1. اگر این الگو ادامه یابد، تعداد تابش ها در \(30\)اُمین دقیقه چندبار خواهد بود؟
   
2. مجموع تابش ها در دقیقۀ \(30\)اُم چند مرتبه خواهد بود؟
   

پاسخ

1. این بخش از مسأله به دو روش حل می شود:
   

   • روش 1: استفاده از استدلال منطقی

     این کرم شب تاب در دقیقۀ اول دو بار نور می تاباند، در دقیقۀ دوم چهار بار، در دقیقۀ سوم شش بار، و به همین ترتیب ادامه می یابد.
     دنبالۀ حسابی تولید شده با تعداد دفعات تابش در هر دقیقه برابر با \(2,4,6,\text{ ...}\) می باشد. از آنجا که در این دنباله قدر نسبت \(2\) می باشد، تعداد دفعات تابش در دقیقۀ سی ام برابر با سی امین مضرب عدد \(2\) می باشد.
     $$
     30 \cdot 2 = 60
     $$
     تعداد دفعات تابش در دقیقۀ \(30\)ام برابر با \(60\) بار می باشد.
     

   • روش 2: استفاده از جملۀ عمومی

     در این دنبالۀ حسابی مقادیر زیر را داریم:
     جملۀ اول: \(t_1 = 2\)
     قدر نسبت: \(d=2\)
     تعداد جملات: \(n=30\)
     این مقادیر را در فرمول جملۀ عمومی جایگزین کنید.
     $$
     t_n=t_1+(n-1)d\\
     t_{30} = 2 + (30-1)d\\
     t_{30} =2+(29)2\\
     t_{30} =60
     $$
     تعداد دفعات تابش در دقیقۀ \(30\)ام برابر با \(60\) بار می باشد.
     
2. این بخش از مسأله نیز مانند بخش اول به دو روش حل می شود:
   

   • روش 1: استفاده از فرمول \(S_n = \frac{n}{2}(t_1 + t_n)\)

     $$
     S_n = \frac{n}{2}(t_1 + t_n)\\
     S_{30} = \frac{30}{2} (2+60)\\
     S_{30} =15(62)\\
     S_{30} =930
     $$
     

   • روش 2: استفاده از فرمول \(S_n =\frac{n}{2}\bigl[ 2t_1 + (n-1)d \bigr]\)

     $$
     S_n =\frac{n}{2}\bigl[ 2t_1 + (n-1)d \bigr]\\
     S_{30} =\frac{30}{2}\bigl[ 2(2)+(30-1)(2) \bigr]\\
     S_{30} = 15(62)\\
     S_{30} =930
     $$
     مجموع تعداد دفعات تابش این کرم شب تاب نر در سی دقیقه برابر با \(930\) تابش می باشد.
     

حالا نوبت شماست

مجموع تعداد دفعات تابش این کرم شب تاب در دقیقۀ \(42\) را تعیین کنید.