مجموع دو جملۀ اول یک سری حسابی برابر با \(13\) می باشد و مجموع چهار جملۀ اول آن برابر با \(46\) می باشد. شش جملۀ اول این سری و مجموع این شش جمله را مشخص کنید.

پاسخ

در این سری داریم:
$$
S_2 = 13\\
S_4 = 46
$$
هر دو مقدار این جمع ها را در فرمول \(S_n=\frac{n}{2}\bigl[ 2t_1 + (n-1)d \bigr]\) جایگذاری کنید.
در مورد \(S_2\) داریم:
$$
S_n=\frac{n}{2}\bigl[ 2t_1 + (n-1)d \bigr]\\
S_{\color{red}{2}} = \frac{\color{red}{2}}{2} \bigl[ 2t_1 + (\color{red}{2}-1)d \bigr]\\
\color{red}{13} = 1\bigl[ 2t_1+(1)d \bigr]\\
13 = 2t_1 + d
$$
در مورد \(S_4\) داریم:
$$
S_n=\frac{n}{2}\bigl[ 2t_1 + (n-1)d \bigr]\\
S_{\color{red}{4}} = \frac{\color{red}{4}}{2} \bigl[ 2t_1 + (\color{red}{4}-1)d \bigr]\\
\color{red}{46}=2\bigl[ 2t_1+(3)d \bigr]\\
23=2t_1+3d
$$
حالا دو معادله و دو مجهول داریم، برای حل کردن آن از یک دستگاه معادلات خطی دو مجهولی استفاده می کنیم:
$$
\begin{cases}
13=2t_1+d \\[2ex]
23=2t_1+3d\\[2ex]
\end{cases}
$$
برای حل کردن این دستگاه معادلات از روش حذف (elimination) استفاده می کنیم:
$$
\begin{array}{c}
13 = 2t_1 + d \\[2ex]
-23 = -2t_1 - 3d \\[2ex]
\hline
-10 = 0 -2d \\
-10 = -2d\\
\frac{-10}{-2}=d \\
5=d
\end{array}
$$
\(d=5\) را در یکی از این دو معادله جایگذاری کنید:
$$
13=2t_1+d\\
13=2t_1 + \color{red}{5}\\
13-5=2t_1\\
8=2t_1\\
4=t_1
$$
با \(t_1=4\) و \(d=5\)، شش جملۀ اول این سری اینگونه خواهند بود:
$$
4 + 9 + 14 + 19 + 24 + 29
$$
مجموع شش جملۀ اول اینگونه محاسبه می شود:
$$
S_n=\frac{n}{2}\bigl[ 2t_1 + (n-1)d \bigr] \\
S_{\color{red}{6}} = \frac{\color{red}{6}}{2} \bigl[ 2(\color{red}{4}) + (\color{red}{6}-1)\color{red}{5} \bigr]\\
S_6=3(8+25)\\
S_6=99
$$
همچنین می توانستیم برای محاسبۀ مجموع شش جملۀ اول از فرمول زیر نیز استفاده کنیم:
$$
S_n=\frac{n}{2}\bigl[ t_1 + t_n \bigr]\\
S_{\color{red}{6}} = \frac{\color{red}{6}}{2} (\color{red}{4}+\color{red}{29})\\
S_6 = 3(33)\\
S_6=99
$$

حالا نوبت شماست

مجموع دو جملۀ اول یک سری حسابی برابر با \(19\) و مجموع چهار جملۀ اول آن برابر با \(50\) می باشد. شش جملۀ اول این سری چه می باشند و مجموع \(20\) جملۀ اول آن چه می باشد؟