در طبیعت خیلی از موجودات زندۀ تک سلولی، همچون باکتریها، با جدا شدن به دو قسمت تقسیم می شوند به نحوی که یک سلول به \(2\) سلول افزایش می یابد، سپس به \(4\)، سپس به \(8\) سلول، و به همین ترتیب ادامه می یابد، و یک دنبالۀ هندسی تولید می کند. فرض کنید که \(10\) باکتری در ابتدا در یک آزمایش باکتری ارائه شود. یک جملۀ عمومی تعیین کنید که تعداد این باکتری ها را به زمان دو برابر شدن این باکتری ها مرتبط سازد. مقادیر \(t_1\) و \(r\) تولید شده توسط این دنبالۀ هندسی را بیان کنید.

پاسخ

ابتدا دنبالۀ تولید شده توسط دوبرابر شدن باکتری ها را می نویسیم.
$$
t_1=10\\
t_2=20\\
t_3=40\\
t_4=80\\
t_5=160\\
\vdots
$$
قدر نسبت یعنی \(r\) را می توانیم با تقسیم کردن هر دو جملۀ متوالی بیابیم:
$$
r=\frac{t_n}{t_{n-1}}\\
\frac{20}{10}=2\\
\frac{40}{20}=2\\
\frac{80}{40}=2\\
\frac{160}{80}=2
$$
قدر نسبت \(2\) می باشد.

در دنبالۀ داده شده، \(t_1=10\) و \(r=2\) می باشد. از جملۀ عمومی دنبالۀ هندسی استفاده می کنیم.
$$
t_n=t_1r^{n-1}\\
t_n=(\color{red}{10})(\color{red}{2})^{n-1}
$$
جملۀ عمومیِ این دنبالۀ هندسی برابر با \(t_n=10(2)^{n-1}\) می باشد.

حالا نوبت شماست

فرض کنید که در نمونۀ اولیه سه باکتری ارائه شده باشند. جملۀ عمومی که تعداد باکتری ها را به دورۀ دوبرابر شدن آنها مرتبط می کند، تعیین کنید. مقادیر \(t_1\) و \(r\) شکل گرفته در این دنبالۀ هندسی را بیان کنید.