در یک دنبالۀ هندسی، جملۀ سوم \(54\) است و جملۀ ششم \(-1458\) است. مقادیر \(t_1\) و \(r\) را تعیین کنید و سه جملۀ اول این دنباله را لیست کنید.

پاسخ

روش 1: استفاده از استدلال منطقی

سومین جملۀ این دنباله \(54\) و ششمین جملۀ آن \(-1458\) است.
$$
t_3=54\\
t_6=-1458
$$
از آنجا که این دنباله هندسی است روابط زیر را داریم:
$$
t_4=t_3(r)\\
t_5=t_3(r)(r)\\
t_6=t_3(r)(r)(r)
$$
حالا مقادیر معلوم را در \(t_6=t_3(r)(r)(r)\) جایگذاری می کنیم:
$$
\color{red}{-1458}=\color{red}{54}(r)(r)(r)\\
-1458=54r^3\\
\frac{-1458}{54}=r^3\\
-27=r^3\\
\sqrt[3]{-27} = \sqrt[3]{r^3}\\
-3=r
$$
اکنون می توانید \(t_1\) را به شیوۀ زیر تعیین کنید:
$$
t_n=t_1r^{n-1}\\
t_{\color{red}{3}}=t_1r^{\color{red}{3}-1}\\
t_3=t_1r^2\\
\color{red}{54}=t_1(\color{red}{-3})^2\\
54=9t_1\\
\frac{54}{9}=t_1\\
6=t_1
$$
اولین جملۀ این دنباله هندسی \(6\) و قدر نسبت آن \(-3\) است. سه جملۀ اول این دنباله هندسی به شرح زیر هستند:
$$
6,-18,54
$$

روش 2: استفاده از جملۀ عمومی

شما می توانید با استفاده از جملۀ عمومی یک دنباله هندسی، معادله ای برای \(t_3\) و همینطور معادله ای برای \(t_6\) بنویسید.
برای جملۀ سوم، \(n=3\):
$$
t_n=t_1r^{n-1}\\
\color{red}{54} = t_1r^{\color{red}{3}-1}\\
54=t_1r^2
$$
برای جملۀ ششم، \(n=6\):
$$
t_n=t_1r^{n-1}\\
\color{red}{-1458}=t_1r^{\color{red}{6}-1}\\
-1458=t_1r^5
$$
یکی از این دو معادله را برای بدست آوردن \(t_1\) حل کنید.
$$
54=t_1r^2\\
\frac{54}{r^2}=t_1
$$
عبارت بدست آمده برای \(t_1\) را در معادلۀ دیگر جایگذاری کنید و آن را برای بدست آوردن متغیر \(r\) حل کنید.
$$
-1458=t_1r^5\\
-1458=\biggl( \color{red}{\frac{54}{r^2}} \biggr)r^5\\
-1458=54r^3\\
\frac{-1458}{54}=r^3\\
-27=r^3\\
\sqrt[3]{-27}=r\\
-3=r
$$
هم اکنون قدر نسبت را دارید، این مقدار را در یکی از معادلات بالا جایگذاری کنید و آن را برای بدست آوردن \(t_1\) حل کنید:
$$
54=t_1 r^2\\
54=t_1(\color{red}{-3})^2\\
54=9t_1\\
6=t_1
$$
اولین جملۀ این دنباله \(6\) و قدرنسبت آن \(-3\) می باشد.
سه جملۀ اول دنباله به شرح زیر هستند:
$$
6,-8,54
$$

حالا نوبت شماست

در یک دنبالۀ هندسی، جملۀ دوم \(28\) و جملۀ پنجم \(1792\) است. مقادیر \(t_1\) و \(r\) را تعیین کنید و سه جملۀ اول این دنباله را لیست کنید.