یک سری هندسی (geometric series) عبارتی برای مجموع جملات یک دنبالۀ هندسی می باشد.






یک سیستم "فُن اوت" (fan-out) اورژانس منطقه ای مدرسه طراحی شده است تا با کمک آن اطلاعات مهم خیلی سریع بدست کل کارکنان آن ناحیه برسد. در مرحلۀ اول سرپرست با دو دستیار سرپرست تماس می گیرد. آن دو دستیار سرپرست هر کدامشان با دو سرپرست مناطق تماس می گیرند. آنها هم هر کدامشان با دو مدیر مدرسه تماس می گیرند. این الگو به همین شکل ادامه می یابد و هر شخصی با دو شخص دیگر تماس می گیرد.

در هر مرحله تعداد افرادی که تماس می گیرند نسبت به تعداد افرادی که در مرحلۀ قبل تماس گرفته اند، دوبرابر می شود. این الگو می تواند توسط یک دنبالۀ هندسی مُدلسازی شود که در آن جملۀ اول \(1\) و قدرنسبت \(2\) می باشد. سری مربوط به این سیستم "فن اوت" \(1+2+4+8\) خواهد بود و مجموع افراد تماس گرفته بعد از \(4\) مرحله برابر با \(15\) خواهد بود.

برای اینکه این سری را به \(15\) یا \(20\) و یا حتی \(100\) سطح توسعه بدهید، نیاز دارید تا روشی برای محاسبۀ جمع این سری تعیین کنید که متفاوت از جمع زدن تمامی جملات با یکدیگر باشد.


یک روش برای محاسبۀ جمع این سری اینست که از یک فرمول استفاده کنیم.

برای ایجاد فرمولی جهت جمع زدن یک سری،

1. سری اصلی را لیست کنید.
   $$
   S_4=1+2+4+8
   $$
   
2. هر کدام از جملات موجود در سری را در قدرنسبت ضرب کنید.
   $$
   2(S_4=1+2+4+8)\\
   2S_4 = 2+4+8+16
   $$
   تعداد کارکنانی که در سطح پنجم تماس می گیرند برابر با \(16\) خواهد بود.
   
   
3. معادلۀ مرحلۀ \(1\) را از معادلۀ مرحلۀ \(2\) تفریق کنید.
   
   چرا این دو معادله به شکلی که می بینید تراز شدند؟
   
   
4. حالا معادلۀ ایجاد شده از حاصل تفریق بالا را برای بدست آوردن \(S_4\) حل کنید.
   $$
   S_4=\frac{16-1}{2-1}\\
   S_4=15
   $$
   

شما می توانید از روش بالا به منظور استخراج فرمولی عمومی برای محاسبۀ مجموع یک سری هندسی استفاده کنید.

1. سری هندسی عمومی را می توان به شکل سری زیر نشان داد.
   $$
   S_n=t_1+t_1 r+t_1 r^2 + t_1 r^3 + \text{...} + t_1 r^{n-1}
   $$
   
2. هر جمله در این سری را در قدر نسبت، یعنی \(r\)، ضرب کنید.
   $$
   r S_n=t_1 r +t_1 r(r)+t_1 r^2(r) + t_1 r^3(r) + \text{...} + t_1 r^{n-1}(r)\\
   r S_n = t_1 r + t_1 r^2 + t_1 r^3 + t_1 r^4 + \text{...}+t_1r^n
   $$
   
3. این دو معادله را از یکدیگر تفریق کنید.
   
   
   
4. حاصل تفریق مرحلۀ \(3\) را برای بدست آوردن \(S_n\) حل کنید.
   $$
   S_n=\frac{t_1 r^n - t_1}{r-1}, r \ne 1
   $$
   یا
   $$
   S_n = \frac{t_1(r^n -1)}{r-1}, r \ne 1
   $$
   چرا \(r\) نمی تواند برابر با \(1\) باشد؟