خوش آموز درخت تو گر بار دانش بگیرد، به زیر آوری چرخ نیلوفری را


مثال 2: تعیین مجموع یک سری هندسی برای تعداد نامشخصی از جملات

مثال 2: تعیین مجموع یک سری هندسی برای تعداد نامشخصی از جملات
نویسنده : امیر انصاری
جمع هر کدام از سری های هندسی زیر را تعیین کنید.

سیستم یکپارچۀ سازمانی راهکار



  1. $$
    \frac{1}{27}+\frac{1}{9}+\frac{1}{3}+\text{...}+729
    $$
  2. $$
    4-16+64-\text{...}-65539
    $$

پاسخ


    • روش 1: تعیین تعداد جملات

      $$
      t_n=t_1 r^{n-1}\\
      \color{red}{729}=\color{red}{\frac{1}{27}} (\color{red}{3})^{n-1}\\
      (27)(729) = \biggl[ \frac{1}{27} (3)^{n-1} \biggr] (27)\\
      (27)(729) = (3)^{n-1}\\
      (3^3)(3^6) = (3)^{n-1}\\
      (3)^9 = (3)^{n-1}\\
      9=n-1\\
      10=n
      $$
      در این سری \(10\) جمله وجود دارد.

      از فرمول عمومی جمع سری هندسی استفاده کنید.
      $$
      n=10\\
      t_1=\frac{1}{27}\\
      r=3\\
      S_n=\frac{t_1(r^n-1)}{r-1}\\
      S_{10}= \frac{\biggl( \color{red}{\frac{1}{27}} \biggr) \biggl[ (\color{red}{3})^{\color{red}{10}}-1 \biggr]}{\color{red}{3}-1}\\
      S_{10}=\frac{29524}{27}
      $$
      جمع این سری برابر با \(\frac{29524}{27}\) یا \(1093\frac{13}{27}\) می باشد.

    • روش 2: استفاده از یک فرمول جایگزین


      با فرمول جملۀ عمومی دنبالۀ هندسی کار را آغاز کنید.
      $$
      t_n=t_1 r^{n-1}
      $$
      هر دو سمت این فرمول را در \(r\) ضرب کنید.
      $$
      rt_n=(t_1 r^{n-1})(r)
      $$
      سمت راست این معادله را ساده سازی کنید.
      $$
      r t_n=t_1 r^n
      $$
      شما می دانید که فرمول عمومی جمع یک سری هندسی را می توانید به شکل زیر بنویسید:
      $$
      S_n=\frac{t_1 r^n - t_1}{r-1}
      $$
      در این فرمول \(rt_n\) را جایگزین \(t_1 r^n\) کنید.
      $$
      S_n=\frac{rt_n - t_1}{r-1}, r \ne 1
      $$
      نتیجه این می شود که یک فرمول عمومی بدست می آورید که با استفاده از آن می توانید جمع یک سری هندسی را با استفاده از مقادیر جملۀ اول، جملۀ \(n\)ام، و قدر نسبت بدست آورید.
      حالا با استفاده از این فرمول، جمع یک سری با مقادیر معلوم \(r=3\)، \(t_n=729\)، و \(t_1=\frac{1}{27}\) را بدست آورید.
      $$
      S_n=\frac{rt_n-t_1}{r-1}\\
      S_n=\frac{(\color{red}{3})(\color{red}{729})-\color{red}{\frac{1}{27}}}{\color{red}{3}-1}\\
      S_n=\frac{29524}{27}
      $$
      جمع این سری برابر با \(\frac{29524}{27}\) یا تقریباً برابر با \(1093.48\) می باشد.

  1. از فرمول جایگزین \(S_n=\frac{rt_n-t_1}{r-1}\) استفاده کنید که در آن \(t_1=4\)، \(r=-4\)، و \(t_n=-65536\) می باشند.
    $$
    S_n=\frac{rt_n-t_1}{r-1}\\
    S_n=\frac{(\color{red}{-4})(\color{red}{-65536})-4}{-4-1}\\
    S_n=-52428
    $$
    جمع این سری برابر با \(-52428\) می باشد.

حالا نوبت شماست


جمع سری های هندسی زیر را تعیین کنید.

  1. $$
    \frac{1}{64}+\frac{1}{16}+\frac{1}{4}+\text{...}+1024
    $$
  2. $$
    -2+4-8+\text{...}-8192
    $$

یادداشت مترجم: پاسخ حالا نوبت شماست را در قسمت دیدگاه ها درج کنید.



نمایش دیدگاه ها (0 دیدگاه)

دیدگاه خود را ثبت کنید:

انتخاب تصویر ویرایش حذف
توجه! حداکثر حجم مجاز برای تصویر 500 کیلوبایت می باشد.