خوش آموز درخت تو گر بار دانش بگیرد، به زیر آوری چرخ نیلوفری را


تمرین 10: سری هندسی، استفادۀ کاربردی

تمرین 10: سری هندسی، استفادۀ کاربردی
نویسنده : امیر انصاری
یک توپ تنیس که از ارتفاع \(20\) متری رها می شود با هر بار به زمین خوردن به میزان \(40\%\) ارتفاع قبلی اش به هوا می پرد. مجموع مسافت عمودی طی شده از جهش های رو به بالا و سقوط های رو به پایین تشکیل شده است. نموداری ترسیم کنید که این وضعیت را نشان دهد. هنگامی که این توپ برای ششمین بار به زمین اصابت می کند، مجموع مسافت عمودی طی شدۀ آن چقدر است؟ پاسخ خود را به نزدیکترین دهم متر بیان کنید.

سیستم یکپارچۀ سازمانی راهکار



پاسخ


تصویر زیر چگونگی حرکت این توپ و مسیر طی شده توسط آن را نشان می دهد.

تمرین 10: سری هندسی، استفادۀ کاربردی
برای پاسخ دادن به این مسأله به این نکته توجه کنید که به استثناء سقوط اول که در آن توپ از ارتفاع \(20\) متری پایین می آید در سایر موارد مسیر طی شده باید دو برابر حساب شود، چرا که یکبار توپ به هوا می رود و دوباره به میزان همان مسافت به زمین می آید تا اصابت کند و بعد از آنهم طبق قانون گفته شده در مسأله \(40\%\) ارتفاع قبلی اش، اوج می گیرد. با این حساب ما سقوط اولیه یعنی \(20\) متر را فعلاً نادیده می گیریم و دنباله را بعد از آن تشکیل می دهیم. از آنجا که \(40\%\) از \(20\) متر برابر با \(8\) متر است و این مقدار ضربدر \(2\) می شود تا رفت و برگشت در آن لحاظ شود، جملۀ آغازین سری ما \(16\) خواهد بود:
$$
r=40\%=0.4\\
t_1=2(0.4)20=16\\
n=5\\
S_n=\frac{t_1(r^n - 1)}{r-1}\\
S_5=\frac{16(0.4^5 -1)}{0.4-1} \approx 26.4 \text{ m}
$$
هم اکنون آن سقوط اول را نیز به این حاصل جمع اضافه می کنیم:
$$
20 + 26.4 = 46.4 \text{ m}
$$


نمایش دیدگاه ها (0 دیدگاه)

دیدگاه خود را ثبت کنید:

انتخاب تصویر ویرایش حذف
توجه! حداکثر حجم مجاز برای تصویر 500 کیلوبایت می باشد.