خوش آموز درخت تو گر بار دانش بگیرد، به زیر آوری چرخ نیلوفری را
تمرین 10: سری هندسی، استفادۀ کاربردی
یک توپ تنیس که از ارتفاع \(20\) متری رها می شود با هر بار به زمین خوردن به میزان \(40\%\) ارتفاع قبلی اش به هوا می پرد. مجموع مسافت عمودی طی شده از جهش های رو به بالا و سقوط های رو به پایین تشکیل شده است. نموداری ترسیم کنید که این وضعیت را نشان دهد. هنگامی که این توپ برای ششمین بار به زمین اصابت می کند، مجموع مسافت عمودی طی شدۀ آن چقدر است؟ پاسخ خود را به نزدیکترین دهم متر بیان کنید.
تصویر زیر چگونگی حرکت این توپ و مسیر طی شده توسط آن را نشان می دهد.
برای پاسخ دادن به این مسأله به این نکته توجه کنید که به استثناء سقوط اول که در آن توپ از ارتفاع \(20\) متری پایین می آید در سایر موارد مسیر طی شده باید دو برابر حساب شود، چرا که یکبار توپ به هوا می رود و دوباره به میزان همان مسافت به زمین می آید تا اصابت کند و بعد از آنهم طبق قانون گفته شده در مسأله \(40\%\) ارتفاع قبلی اش، اوج می گیرد. با این حساب ما سقوط اولیه یعنی \(20\) متر را فعلاً نادیده می گیریم و دنباله را بعد از آن تشکیل می دهیم. از آنجا که \(40\%\) از \(20\) متر برابر با \(8\) متر است و این مقدار ضربدر \(2\) می شود تا رفت و برگشت در آن لحاظ شود، جملۀ آغازین سری ما \(16\) خواهد بود:
$$
r=40\%=0.4\\
t_1=2(0.4)20=16\\
n=5\\
S_n=\frac{t_1(r^n - 1)}{r-1}\\
S_5=\frac{16(0.4^5 -1)}{0.4-1} \approx 26.4 \text{ m}
$$
هم اکنون آن سقوط اول را نیز به این حاصل جمع اضافه می کنیم:
$$
20 + 26.4 = 46.4 \text{ m}
$$
پاسخ
تصویر زیر چگونگی حرکت این توپ و مسیر طی شده توسط آن را نشان می دهد.
برای پاسخ دادن به این مسأله به این نکته توجه کنید که به استثناء سقوط اول که در آن توپ از ارتفاع \(20\) متری پایین می آید در سایر موارد مسیر طی شده باید دو برابر حساب شود، چرا که یکبار توپ به هوا می رود و دوباره به میزان همان مسافت به زمین می آید تا اصابت کند و بعد از آنهم طبق قانون گفته شده در مسأله \(40\%\) ارتفاع قبلی اش، اوج می گیرد. با این حساب ما سقوط اولیه یعنی \(20\) متر را فعلاً نادیده می گیریم و دنباله را بعد از آن تشکیل می دهیم. از آنجا که \(40\%\) از \(20\) متر برابر با \(8\) متر است و این مقدار ضربدر \(2\) می شود تا رفت و برگشت در آن لحاظ شود، جملۀ آغازین سری ما \(16\) خواهد بود:
$$
r=40\%=0.4\\
t_1=2(0.4)20=16\\
n=5\\
S_n=\frac{t_1(r^n - 1)}{r-1}\\
S_5=\frac{16(0.4^5 -1)}{0.4-1} \approx 26.4 \text{ m}
$$
هم اکنون آن سقوط اول را نیز به این حاصل جمع اضافه می کنیم:
$$
20 + 26.4 = 46.4 \text{ m}
$$
لیست دوره های آموزش ریاضی در سایت خوش آموز
برای مشاهدۀ همۀ دوره های ریاضی اینجا کلیک کنید.
- دوره آموزشی رایگان ریاضی پایه و پیش جبر
- تمرینات دوره آموزشی ریاضی پایه و پیش جبر
- دوره آموزشی رایگان جبر 1
- دوره آموزشی رایگان جبر 2
- دوره آموزشی رایگان هندسه
- دوره آموزشی رایگان مثلثات
- دوره آموزشی رایگان پیش حسابان 1
- دوره آموزشی رایگان حسابان 1
- آموزش رایگان حسابان پیشرفته
برای مشاهدۀ همۀ دوره های ریاضی اینجا کلیک کنید.
نمایش دیدگاه ها (0 دیدگاه)
دیدگاه خود را ثبت کنید: