نویسنده : امیر انصاری

1. با یک تکه کاغذ مربع شکل کار را آغاز کنید.
   
   1. خطی بکشید که این کاغذ را به دو نیم تقسیم کند.
      
   2. یکی از این نیمه ها را تیره کنید.
      
   3. در ناحیۀ تیره نشدۀ این مربع، خطی بکشید که آن را به دو نیم تقسیم کند. یکی از نیمه های آن را تیره کنید.
      
   4. بخش \(\text{c}\) را دست کم شش بار دیگر تکرار کنید.
      
2. دنباله ای از جملات بنویسید که مساحت هر ناحیۀ تیره شدۀ جدید را به شکل کسری از کل صفحه نشان دهد. پنج جملۀ اول این دنباله را لیست کنید.
   
3. دو جملۀ بعدی این دنباله را پیش بینی کنید.
   
4. آیا این دنباله حسابی است یا هندسی یا هیچکدام؟ برای پاسختان دلیل بیاورید.
   
5. قاونی برای \(n\)امین جملۀ این دنباله بنویسید.
   
6. اگر محدودیت های فیزیکی را نادیده بگیرید، آیا این دنباله می تواند تا ابد ادامه یابد؟ به عبارت دیگر آیا این دنباله می تواند یک دنبالۀ بی نهایت باشد؟ پاسختان را توضیح دهید.
   
7. با نزدیک شدن تعداد جملات این دنباله به بی نهایت، نتیجه گیری شما در مورد مساحت ناحیه ای از این مربع که تیره نشده باقی مانده است، چه می باشد؟
   

تأمل کنید و پاسخ دهید

8. تابع \(y=\bigl( \frac{1}{2} \bigr)^x\) را در یک ماشین حساب نموداری وارد کنید.
   
   1. با استفاده از جدول مقادیر در ماشین حساب، هنگامی که مقدار \(x\) بزرگتر و بزرگتر می شود برای مقدار \(y=\bigl( \frac{1}{2} \bigr)^x\) چه اتفاقی می افتد؟
      
   2. آیا مقدار \(\bigl( \frac{1}{2} \bigr)^x\) هرگز به صفر می رسد؟
      
9. سری هندسیِ \(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \text{...}\) می تواند به شکل زیر نوشته شود:
   $$
   \frac{1}{2}+\bigl( \frac{1}{2} \bigr)^2+\bigl( \frac{1}{2} \bigr)^3+\bigl( \frac{1}{2} \bigr)^4+\text{...}+\bigl( \frac{1}{2} \bigr)^x
   $$
   شما می توانید از فرمول عمومی برای محاسبۀ جمع این سری استفاده کنید.
   $$
   S_x=\frac{t_1(1-r^x)}{1-r}\\
   S_x=\frac{\frac{1}{2} \biggl( 1-\bigl( \frac{1}{2} \bigr)^x \biggr)}{1-\frac{1}{2}}\\
   S_x=1-\bigl( \frac{1}{2} \bigr)^x
   $$
   
   برای مقادیری که در آنها \(r \lt 1\) باشد، فرمول عمومیِ \(S_x=\frac{t_1(r^x -1)}{(r-1)}\) می تواند به منظور راحتی به شکل \(S_x=\frac{t_1(1-r^x)}{(1-r)}\) نوشته شود.
   چرا فکر می کنید این شکل صحیح می باشد؟
   
   این تابع را در ماشین حسابتان وارد کنید و از ویژگی جدول برای یافتن جمع، \(S_x\)، در حالی که \(x\) بزرگتر می شود، استفاده کنید.
   
   
   1. همینطور که \(x\) بزرگتر می شود، برای جمع، \(S_x\)، چه اتفاقی می افتد؟
      
   2. آیا این جمع بدون هیچ محدودیتی افزایش می یابد؟ دلایلتان را پاسخ دهید.
      
10. 1. همینطور که مقدار \(x\) خیلی بزرگ می شود، فکر می کنید مقدار \(r^x\) به چه مقداری نزدیک شود؟
       
    2. از پاسختان در بخش \(\text{a}\) استفاده کنید تا فرمول جمع یک سری هندسی را تغییر دهید تا جمع یک سری هندسی بی نهایت را با آن تعیین کنید.
       
    3. از فرمولی که در بخش \(b\) بدست آورده اید برای تعیین جمع سری هندسی بی نهایت زیر استفاده کنید:
       $$
       \frac{1}{2}+\bigl( \frac{1}{2} \bigr)^2+\bigl( \frac{1}{2} \bigr)^3+\bigl( \frac{1}{2} \bigr)^4+\text{...}
       $$