خوش آموز درخت تو گر بار دانش بگیرد، به زیر آوری چرخ نیلوفری را


مرتبط ساختن مفاهیم: سری همگرا، سری واگرا، سری هندسی بی نهایت

مرتبط ساختن مفاهیم: سری همگرا، سری واگرا، سری هندسی بی نهایت
نویسنده : امیر انصاری
در اینجا با سه مفهوم سری همگرا، سری واگرا، و سری هندسی بی نهایت آشنا می شوید. همچنین با فرمول جمع سری هندسی بی نهایت آشنا می شوید و از آن استفاده می کنید.

سیستم یکپارچۀ سازمانی راهکار



سری همگرا (Convergent Series)


سری \(4+2+1+0.5+0.25+\text{...}\) را در نظر بگیرید.
مرتبط ساختن مفاهیم $$
S_5 = 7.75\\
S_7 = 7.9375\\
S_9 = 7.9844\\
S_{11} = 7.9961\\
S_{13} = 7.999\\
S_{15} = 7.9998\\
S_{17} = 7.9999\\
$$
همینطور که تعداد جملات افزایش می یابد، دنبالۀ این مجموع های جزئی (partial sums) به مقدار ثابت \(8\) نزدیک می شود. بنابراین جمع این سری برابر با \(8\) می باشد. به این سری، سری همگرا (convergent series) گفته می شود.

یادداشت مترجم: مجموع جزئی (partial sum)، جمع بخشی از یک دنباله می باشد. برای درک بهتر به مثال زیر توجه کنید.
این دنبالۀ اعداد زوج از عدد \(2\) و از آن به بعد می باشد:
$$
{2,4,6,8,10,12,\text{...}}
$$
این مجموع جزئیِ چهار جملۀ اول این دنباله می باشد:
$$
2+4+6+8=20
$$

سری همگرا (convergent series):
  • یک سری با تعداد نامحدودی جمله که در آن دنبالۀ مجموع های جزئی به یک عدد ثابت نزدیک می شود.
  • برای مثال:
    $$
    1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\text{...}
    $$

سری واگرا (Divergent Series)


سری \(4+8+16+32+\text{...}\) را در نظر بگیرید.

مرتبط ساختن مفاهیم $$
S_1 = 4\\
S_2 = 12\\
S_3 = 28\\
S_4 = 60\\
S_5 = 124
$$
همینطور که تعداد جملات افزایش می یابد، جمع این سری به رشدش ادامه می دهد. دنبالۀ این مجموع های جزئی به عددی ثابت نزدیک نمی شوند. بنابراین جمع این سری قابل محاسبه نمی باشد. به این سری، سری واگرا (divergent series) گفته می شود.

سری واگرا (divergent series):
  • یک سری با تعداد بی نهایت جمله که در آن دنبالۀ مجموع های جزئی به مقداری ثابت نزدیک نمی شود.
  • برای مثال:
    $$
    2+4+8+16+\text{...}
    $$

سری هندسی بی نهایت (Infinite Geometric Series)


فرمول جمع یک سری هندسی اینست:
$$
S_n=\frac{t_1 (1-r^n)}{1-r}
$$
همینطور که \(n\) خیلی بزرگ می شود، برای مقادیری از \(r\) که بین \(-1\) و \(1\) باشند، مقدار \(r^n\) به \(0\) نزدیک می شود.
بنابراین، همینطور که \(n\) بزرگ می شود، مجموع جزئی \(S_n\) به \(\frac{t_1}{1-r}\) نزدیک می شود.

بنابراین جمع یک سری هندسی بی نهایت برابر است با:
$$
S_{\infty} = \frac{t_1}{1-r}, -1 \lt r \lt 1
$$

هنگامی که \(-1 \lt r \lt 1\) باشد، جمع یک سری هندسی بی نهایت را می توان با فرمول زیر تعیین کرد:
$$
S_{\infty} = \frac{t_1}{1-r}
$$
در این فرمول \(t_1\) اولین جملۀ سری، \(r\) قدر نسبت، و \(S_{\infty}\) نشان دهندۀ جمع تعداد بی نهایتی از جملات می باشد.

این فرمول را بر روی سری \(4+2+1+0.5+0.25+\text{...}\) بکار ببرید.
$$
S_{\infty} = \frac{t_1}{1-r}, -1 \lt r \lt 1\\
S_{\infty} = \frac{\color{red}{4}}{1-\color{red}{0.5}}\\
S_{\infty} = \frac{4}{0.5}\\
S_{\infty} = 8
$$



نمایش دیدگاه ها (0 دیدگاه)

دیدگاه خود را ثبت کنید:

انتخاب تصویر ویرایش حذف
توجه! حداکثر حجم مجاز برای تصویر 500 کیلوبایت می باشد.