فرض کنید هر مربعِ تیره شده نشان دهندۀ \(\frac{1}{4}\) مساحت مربع بزرگتری باشد که با دو طرف ضلع مجاور آن هم مرز است و این تیره شدن ها به شکل مشخص شده تا ابد ادامه یابد.

1. سری جملاتی که این وضعیت را نشان می دهند، بنویسید.
   
2. چقدر از مجموع مساحت بزرگترین مربع، تیره شده است؟
   

پاسخ

1. دنبالۀ ناحیه های تیره شده یک دنبالۀ هندسی بی نهایت را تولید می کند. سری جملاتی که این وضعیت را نشان می دهند، عبارتند از:
   $$
   \frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{64}+\text{...}
   $$
   
2. برای تعیین مجموع مساحت تیره شده، نیاز دارید تا مجموع تمامی ناحیه های تیره شده درون بزرگترین مربع را محاسبه کنید.
   در این سری، جملۀ اول \(t_1=\frac{1}{4}\)، و قدر نسبت \(r=\frac{1}{4}\)، می باشند.
   از فرمول جمع سری هندسی بی نهایت استفاده کنید.
   $$
   S_{\infty} = \frac{t_1}{1-r}, -1 \lt r \lt 1\\
   S_{\infty} = \frac{\color{red}{\frac{1}{4}}}{1-\color{red}{\frac{1}{4}}}\\
   S_{\infty} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{3}{4}}\\
   S_{\infty} = \bigl( \frac{1}{4} \bigr)\bigl( \frac{4}{3} \bigr)\\
   S_{\infty} =\frac{1}{3}
   $$
   \(\frac{1}{3}\) از مساحت بزرگترین مربع، تیره شده است.
   

حالا نوبت شماست

شما می توانید \(0.\overline{584}\) را به شکل یک سری هندسی بی نهایت بیان کنید.
$$
0.\overline{584} = 0.584,584,584...\\
=0.584+0.000,584+0.000,000,584 + \text{...}
$$
جمع این سری را تعیین کنید.