در هندسه، یک زاویه توسط دو نیم خط (ray) با یک نقطۀ پایانی مشترک تشکیل می شود. در مثلثات، زوایا اغلب به عنوان چرخش هایی از یک نیم خط تفسیر می شوند. موقعیت شروع و موقعیت پایان به ترتیب بازوی اولیه (initial arm) و بازوی نهاییِ (terminal arm) آن زاویه نامیده می شوند. اگر زاویۀ چرخش پاد ساعت گرد باشد، آن گاه آن زاویه مثبت است. در این فصل تمامی زوایا مثبت خواهند بود.

بخش \(\text{A}\): زوایا در موقعیت استاندارد (Standard Position)

همراه با یک دوست کار کنید.

1. طرح های گروه \(\text{A}\) زوایا را در موقعیت استاندارد نشان می دهند. زوایای موجود در گروه \(\text{B}\) در موقعیت استاندارد قرار ندارند. زوایای گروه \(\text{A}\) و \(\text{B}\) چه تفاوت هایی با یکدیگر دارند؟ زوایایی که در موقعیت استاندارد قرار دارند، دارای چه ویژگی هایی هستند؟
   
   
   
2. کدام طرح یک زاویۀ \(70^{\circ}\) را در موقعیت استاندارد نشان می دهد؟ انتخابتان را توصیف کنید.
   
   
   
3. روی کاغذ رسم، محور مختصات (coordinate axes) را بکشید. سپس از یک نقاله (protractor) برای ترسیم زوایایی با اندازه های زیر در موقعیت استاندارد استفاده کنید. توضیح دهید که چگونه این زوایا را ترسیم می کنید. بازوی نهایی هر زاویه در کدام رُبع صفحه (quadrant) قرار می گیرد؟
   
   1. \(75^{\circ}\)
      
   2. \(105^{\circ}\)
      
   3. \(225^{\circ}\)
      
   4. \(320^{\circ}\)
      

تأمل کنید و پاسخ دهید

4. زوایایی را که ترسیم کرده اید، در نظر بگیرید. چگونه می توانید یک زاویه در موقعیت را استاندارد تعریف کنید؟
   
5. دو روش برای استفاده از نقاله جهت ترسیم هر کدام از زوایای زیر در موقعیت استاندارد را مورد کاوش قرار داده و توضیح دهید.
   
   1. \(290^{\circ}\)
      
   2. \(200^{\circ}\)
      
   3. \(130^{\circ}\)
      
   4. \(325^{\circ}\)
      

بخش \(\text{B}\): ایجاد یک مثلث \(30^{\circ}\text{-}60^{\circ}\text{-}90^{\circ}\)

6. با یک برگ کاغذ \(8\frac{1}{2} ″ \times 11 ″\) کار را آغاز کنید. کاغذ را از وسط تا کنید و یک چین در وسط آن ایجاد کنید.
   
   
   یادداشت مترجم: کاغذ \(8\frac{1}{2} ″ \times 11 ″\) که اندازه هایش را به اینچ گفته اند در واقع معادل همان کاغذ \(\text{A4}\) خودمان است.
   
   
   
7. تای کاغذ را باز کنید. در شکل 1 \(\text{(Figure 1)}\)، گوشه های آن با \(A,B,C,D\) نامگذاری شده اند.
   
   
   
   1. گوشۀ \(C\) را بگیرید و آن را به خط تای وسط بکشید و خط تایِ \(DE\) را ایجاد کنید. شکل \(2\) را ببینید.
      
   2. گوشۀ \(B\) را به نحوی خم کنید که \(BE\) بر روی لبۀ پاره خط \(DE\) قرار بگیرد. این تا در امتداد پاره خط \(C'E\) خواهد بود. ناحیه ای را که در شکل \(3\) با رنگ تیره نشان داده شده است را تا کنید تا مثلث متساوی الاضلاع \(\triangle{DEF}\) را کامل کنید.
      
8. در این فعالیت فرض بگیرید که این مثلث متساوی الاضلاع دارای طول ضلع \(2\) واحد می باشد.
   
   1. برای اینکه یک مثلث \(30^{\circ}\text{-}60^{\circ}\text{-}90^{\circ}\) بدست آورید، همانطور که در تصویر زیر می بینید این مثلث را از وسط تا کنید.
      
   2. زوایای این مثلث را همانطور که در تصویر مشخص شده اند با \(30^{\circ}\)، \(60^{\circ}\)، و \(90^{\circ}\) نامگذاری کنید.
      
   3. از قضیۀ فیثاغورث برای مشخص کردن اندازۀ دقیق ضلع سوم این مثلث استفاده کنید.
      
   
   
   
9. 1. مقادیر دقیق \(\sin 30^{\circ}\)، \(\cos 30^{\circ}\)، و \(\tan 30^{\circ}\) را بنویسید.
      
   2. مقادیر دقیق \(\sin 60^{\circ}\)، \(\cos 60^{\circ}\)، و \(\tan 60^{\circ}\) را بنویسید.
      
   3. آیا می توانید از این مثلث برای تعیین نسبت های سینوس، کسینوس، و تانژانت \(90^{\circ}\) استفاده کنید؟ توضیح دهید.
      
10. 1. بر روی یک کاغذ رسم، یک مجموعه از محورهای مختصات را ترسیم کنید.
       
    2. مثلث \(30^{\circ}\text{-}60^{\circ}\text{-}90^{\circ}\) تان را بر روی کاغذ رسم به نحوی قرار دهید که رأس زاویۀ \(60^{\circ}\) آن در مبدأ مختصات قرار بگیرد و زاویۀ \(90^{\circ}\) آن در ربع صفحۀ اول \(\text{(quadrant I)}\) قرار بگیرد و بر محور \(x\) عمود باشد. چه زاویه ای در موقعیت استاندارد ایجاد شده است؟
       
11. 1. مثلثتان را در امتداد محور \(y\) بازتاب دهید. چه زاویه ای در موقعیت استاندارد ایجاد شده است؟
       
    2. مثلث اصلیتان را در امتداد محور \(x\) بازتاب دهید. چه زاویه ای در موقعیت استاندارد ایجاد شده است؟
       
    3. مثلث اصلیتان را ابتدا در محور \(y\) و سپس در محور \(x\) بازتاب دهید. چه زاویه ای در موقعیت استاندارد ایجاد شده است؟
       
12. مراحل \(10\) و \(11\) را با زاویۀ \(30^{\circ}\) در مبدأ مختصات تکرار کنید.
    

تأمل کنید و پاسخ دهید

13. هنگامی که این مثلث بر روی یک محور بازتاب داده می شود، از چه روشی برای تعیین زاویه در موقعیت استاندارد استفاده می کنید؟ آیا این روش برای هر زاویه ای جواب می دهد؟
    
14. هنگامی که این مثلث بر روی یک محور بازتاب داده می شود، فکر می کنید چگونه ممکن است مقادیر نسبتهای سینوس، کسینوس، و تانژانت تغییر کنند؟ توضیح دهید.
    
15. 1. آیا تمامی مثلث های \(30^{\circ}\text{-}60^{\circ}\text{-}90^{\circ}\) دارای ارتباطات اضلاع \(1:\sqrt{3}:2\) می باشند؟ از کجا می دانید؟
       
    2. از یک خط کش برای اندازه گیری طول اضلاع مثلث \(30^{\circ}\text{-}60^{\circ}\text{-}90^{\circ}\) تان استفاده کنید. آیا طول اضلاع آن از ارتباطات \(1:\sqrt{3}:2\) تبعیت می کنند؟ از کجا می دانید؟
       
16. چگونه می توانید با تا کردن کاغذ یک مثلث \(45^{\circ}\text{-}45^{\circ}\text{-}90^{\circ}\) بسازید؟ مقادیر دقیق \(\sin 45^{\circ}\)، \(\cos 45^{\circ}\)، و \(\tan 45^{\circ}\) چه می باشند؟