خوش آموز درخت تو گر بار دانش بگیرد، به زیر آوری چرخ نیلوفری را


تمرین 18: زوایا در موقعیت استاندارد، توسعه

تمرین 18: زوایا در موقعیت استاندارد، توسعه
نویسنده : امیر انصاری
برای طراحی بازوهای روباتیک می توانید از نسبت های مثلثاتی استفاده کنید. یک بازوی روباتیک به گونه ای موتوریزه شده است که زاویۀ \(\theta\) با سرعت ثابت \(10^{\circ}\) در ثانیه از زاویۀ اولیۀ \(0^{\circ}\)، افزایش می یابد. این بازو در طول ثابت \(45 \text{ cm}\) تا نوک انگشتان، نگه داشته می شود.

سیستم یکپارچۀ سازمانی راهکار



تمرین 18: زوایا در موقعیت استاندارد، توسعه
  1. فرض کنید \(h\) نشان دهندۀ ارتفاع این بازوی رباتیک باشد، که تا نوک انگشتان آن اندازه گیری شده است. هنگامی که \(\theta = 0^{\circ}\) باشد، \(h\) برابر با \(12 \text{ cm}\) است. جدولی ایجاد کنید که با استفاده از افزایش \(15^{\circ}\)، زاویۀ \(\theta\)، و ارتفاع \(h\) را، برای \(0^{\circ} \lt \theta \lt 90^{\circ}\) لیست کند.
  2. آیا افزایش این زاویه به میزان ثابت منجر به افزایش ارتفاع مورد اشاره به میزان ثابت می شود؟ پاسختان را توجیه کنید.
  3. اگر \(\theta\) بیش از \(90^{\circ}\) بشود، چه حدس هایی (conjecture) می زنید؟

آیا می دانستید؟
یک حدس (conjecture) یک نتیجه گیری کلی است که مبتنی بر تعدادی از حقایق یا نتایج منفرد بنا شده باشد. در سال \(1997\) انجمن ریاضیات آمریکا (American Mathematical Society)، حدس بیل (Beal’s Conjecture) را منتشر کرد. حدس بیل بیان می دارد: اگر \(A^x + B^y = C^z\) باشد، که در آن \(A,B,C,x,y,z\) اعداد صحیح مثبت باشند، و \(x,y,z\) بزرگتر از \(2\) باشند، آن گاه \(A,B,C\) باید یک فاکتور اول (prime factor) مشترک داشته باشند. اندی بیل جایزه ای برای ارائۀ یک اثبات یا مثال نقض (counterexample) برای حدسش تعیین کرده است.

پاسخ


  1. هنگامی که زاویۀ \(\theta\) از \(0^{\circ}\) تا \(90^{\circ}\) افزایش می یابد، با استفاده از نسبت سینوس، ارتفاع ضلع مقابل \(\theta\) را بدست می آوریم و آن را با ارتفاع اولیه یعنی \(12 \text{ cm}\) جمع می زنیم. برای نمونه به نحوۀ محاسبۀ \(\theta = 15^{\circ}\) دقت کنید، در اینجا فرض شده است که ضلع مقابل \(\theta\) برابر با \(x\) می باشد:
    $$
    \theta = 15^{\circ}\\
    \sin 15^{\circ} = \frac{x}{45}\\
    0.259 = \frac{x}{45}\\
    45(0.259) = x\\
    11.6=x\\
    \text{ }\\[2ex]
    h = 12 + 11.6 = 23.6
    $$
    برای اینکه راحتتر بتوانید بقیۀ ارتفاع ها را محاسبه کنید می توانید از فرمول کلی زیر استفاده کنید:
    $$
    x = 45 \cdot \sin \theta\\
    h = 12 + x\\
    h =12 + (45 \cdot \sin \theta)
    $$
    تمرین 18: زوایا در موقعیت استاندارد، توسعه
  2. خیر نمی شود. افزایش زاویه به میزان ثابت منجر به افزایش ثابت در این ارتفاع نمی شود. برای بررسی این موضوع می توانید این ارتفاع ها را به ترتیب به شکل یک دنباله در کنار یکدیگر بنویسید و به دنبال قدر نسبت (تفاضل مشترک) بین آنها باشید. متوجه خواهید شد که تفاضل مشترکی ندارند و به مقادیر متفاوتی می رسید. به عنوان مثال:
    $$
    23.6 - 12 = 11.6 \text{ cm}\\
    34.5 - 23.6 = 10.9 \text{ cm}
    $$
  3. هنگامی که \(\theta\) از \(90^{\circ}\) بزرگتر شود، این ارتفاع کاهش می یابد. به مثال های زیر توجه کنید:
    $$
    h = 12 + (45 \cdot \sin \theta)\\
    12+ (45 \cdot \sin (105^{\circ})) = 55.5\\
    12+ (45 \cdot \sin (120^{\circ})) = 51.0
    $$
    در واقع اگر خوب دقت کنید متوجه خواهید شد که ارتفاع در زاویۀ \(105^{\circ}\) برابر با ارتفاع در زاویۀ \(75^{\circ}\) می باشد و این رویه به همین ترتیب ادامه می یابد.



نمایش دیدگاه ها (0 دیدگاه)

دیدگاه خود را ثبت کنید:

انتخاب تصویر ویرایش حذف
توجه! حداکثر حجم مجاز برای تصویر 500 کیلوبایت می باشد.