شما پیشتر با مسأله هایی مواجه شدید که شامل مثلث های قائم الزاویه بودند و می توانستید با استفاده از قضیۀ فیثاغورث و نسبت های مثلثاتی اصلی آنها را حل کنید. با این حال، مثلثی که وضعیتی با مسافت های مجهول یا زوایای مجهول را مدلسازی کند، ممکن است یک مثلث قائم الزاویه نباشد. یک روش برای حل کردن یک مثلث مایل (oblique triangle) استفاده از قانون سینوس است. برای اثبات قانون سینوس، نیاز دارید تا مهارتهای مثلثاتی قبلیتان را توسعه دهید.

قانون سینوس (sine law)

قانون سینوس ارتباط بین اضلاع و زوایا در هر مثلثی است. فرض کنید \(\triangle{ABC}\) هر مثلثی باشد، که در آن \(a\)، \(b\)، و \(c\) به ترتیب نشان دهندۀ اندازۀ اضلاع روبروی \(\angle{A}\)، \(\angle{B}\)، و \(\angle{C}\) باشند. آن گاه:
$$
\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}
$$
یا
$$
\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b} = \frac{\sin C}{c}
$$

اثبات قانون سینوس

در \(\triangle{ABC}\)، ارتفاع \(AD \bot BC\) را ترسیم کنید. (نماد \(\bot\) به معنای عمود بر می باشد). اجازه دهید \(AD=h\) باشد.


در \(\triangle{ABD}\):
$$
\sin B = \frac{h}{c}\\
h =c \sin B
$$
در \(\triangle{ACD}\):
$$
\sin C = \frac{h}{b}\\
h=b \sin C
$$
این دو معادله را به یکدیگر مرتبط کنید، زیرا هر دوی آنها برابر با \(h\) هستند:
$$
c \sin B = b \sin C
$$
هر دو سمت این معادله را بر \(\sin B \sin C\) تقسیم کنید:
$$
\frac{c \sin B}{\sin B \sin C} = \frac{b \sin C}{\sin B \sin C}\\
\frac{c}{\sin C} = \frac{b}{\sin B}
$$
این بخشی از قانون سینوس است.
با ترسیم ارتفاعی از \(C\) و استفاده از مراحل یکسان، می توانید نشان دهید که:
$$
\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}
$$
بنابراین:
$$
\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}
$$
یا
$$
\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b}=\frac{\sin C}{c}
$$