خانوادۀ پودلاک (Pudluk) و خانوادۀ دوستش مالک کلبه هایی در رودخانۀ کالیت در ایالت نوناووت (Nunavut) هستند. پودلاک و دوستش می خوهند فاصلۀ بین کلبۀ پودلاک تا فروشگاهی که در حاشیۀ شهر قرار دارد را اندازه گیری کنند. آنها می دانند که فاصلۀ بین کلبه هایشان برابر با \(1.8 \text{ km}\) می باشد. آنها به کمک یک دستگاه اندازه گیری زاویه، اندازۀ زوایای بین کلبه هایشان و برج ارتباطی قرار گرفته در نزدیکی آن فروشگاه را به شرحی که در تصویر می بینید، تخمین زدند. فاصلۀ بین کلبۀ پودلاک تا فروشگاه را به نزدیکترین دهم کیلومتر تعیین کنید.

پاسخ

روش 1: استفاده از نسبتهای مثلثاتی اصلی

اندازۀ \(\angle{C}\) را محاسبه کنید:
$$
\angle{C}=180^{\circ}-(88^{\circ}+61^{\circ})\\
\angle{C}=31^{\circ}
$$
ارتفاعی (altitude) این مثلث را از \(B\) بکشید تا \(AC\) را در نقطۀ \(\text{D}\) قطع کند.
این ارتفاع را \(h\) بنامید.

فاصلۀ بین کلبۀ پودلاک تا فروشگاه برابر با مجموع مسافت های \(AD\) و \(DC\) می باشد.


از روی \(\triangle{ABD}\)، اندازۀ \(h\) را تعیین کنید:
$$
\sin 61^{\circ} = \frac{\text{opposite}}{\text{hypotenuse}} = \frac{\text{ضلع مقابل}}{\text{وتر}}\\
\sin 61^{\circ} = \frac{h}{1.8}\\
h=1.8 \sin 61^{\circ}
$$
از روی \(\triangle{ABD}\) اندازۀ \(x\) را تعیین کنید:
$$
\cos 61^{\circ}=\frac{\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}}=\frac{\text{ضلع مجاور}}{\text{وتر}}\\
\cos 61^{\circ} = \frac{x}{1.8}\\
x=1.8 \cos 61^{\circ}\\
x=0.872...
$$
از روی \(\triangle{BDC}\) اندازۀ \(y\) را تعیین کنید:
$$
\tan 31^{\circ} = \frac{\text{opposite}}{\text{adjacent}}=\frac{\text{ضلع مجاور}}{\text{وتر}}\\
\tan 31^{\circ} = \frac{h}{y}\\
y=\frac{1.8 \sin 61^{\circ}}{\tan 31^{\circ}}\\
y=2.620...
$$
حالا \(AC\) را محاسبه می کنیم:
$$
AC=x+y=0.872+2.620=3.492...
$$
فاصلۀ بین کلبۀ پودلاک تا فروشگاه تقریباً برابر با \(3.5 \text{ km}\) است.

روش 2: استفاده از قانون سینوس

اندازۀ \(\angle{C}\) را محاسبه کنید:
$$
\angle{C}=180^{\circ}-(88^{\circ}+61^{\circ})\\
\angle{C}=31^{\circ}
$$
اندازۀ زوایا را لیست کنید:
$$
\angle{A}=61^{\circ}, a=\text{__}\\
\angle{B}=88^{\circ}, b = \text{__}\\
\angle{C}=31^{\circ}, c=1.8 \text{ km}\\
\frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}\\
\frac{b}{\sin 88^{\circ}} = \frac{1.8}{\sin 31^{\circ}}\\
b=\frac{1.8 \sin 88^{\circ}}{\sin 31^{\circ}}\\
b=3.492...
$$
فاصلۀ بین کلبۀ پودلاک تا فروشگاه تقریباً برابر با \(3.5 \text{ km}\) است.

حالا نوبت شماست

فاصلۀ بین کلبۀ دوست پودلاک تا فروشگاه را تعیین کنید.