نویسنده : امیر انصاری

1. طرحی از مسیر آنها بکشید.
   
2. فاصلۀ بین جولیا و اسحاق تا کمپ اصلیشان چقدر است؟
   
3. آنها با چه برینگی باید مسیر را طی کنند تا به کمپ اصلیشان بازگردند؟
   

پاسخ

1. 
   
   \(\text{base camp}\): کمپ اصلی
   \(\text{Julia and Isaac}\): جولیا و اسحاق
   
   
   
2. برای حل این قسمت از مسأله شکل را نامگذاری کرده ایم تا راحتتر بتوانیم در حل مسأله به قسمتهای مختلف آن اشاره کنیم:
   برای شروع ضلع \(AB\) از \(\triangle{ABC}\) را امتداد داده ایم و هدفمان از این گسترش اینست که می خواهیم از ویژگی های خطوط موازی استفاده کنیم. طبق ویژگی های خطوط موازی زوایای \(\angle{GAB}\) و \(\angle{EBF}\) زوایای متناظر می باشند و از اینرو هم اندازه خواهند بود.
   $$
   \angle{EBF} = \angle{GAB} = 42^{\circ}\\
   \angle{FBC} = \angle{EBC} - \angle{EBF} \\
   \angle{FBC} = 137^{\circ} - 42^{\circ} = 95^{\circ} \\
   \angle{ABC} = \angle{ABF} - \angle{FBC}\\
   \angle{ABC} = 180^{\circ} - 95^{\circ} = 85^{\circ}
   $$
   هم اکنون اندازۀ \(\angle{B} = 85^{\circ}\) از \(\triangle{ABC}\) را داریم. با توجه به اینکه اندازۀ دو ضلع تشکیل دهندۀ این زاویه در مثلث را نیز در اختیار داریم می توانیم با استفاده از قانون کسینوس مقدار ضلع \(b\) که در واقع همان فاصلۀ بین جولیا و اسحاق تا کمپ اصلیشان می باشد را بیابیم.
   $$
   b =\sqrt{a^2 + c^2 - 2(a)(c) \cos B}\\
   b =\sqrt{5^2 + 8^2 - 2(5)(8) \cos 85^{\circ}}\\
   b = 9.056...\\
   b \approx 9.1 \text{ km}
   $$
   فاصلۀ بین جولیا و اسحاق تا کمپ اصلی تقریباً برابر با \(9.1\) کیلومتر می باشد.
   
   
3. برای حل این قسمت از مسأله نیز تغییراتی در شکل و نامگذاری ها داده ایم تا بتوانیم از آنها در جزئیات حل مسأله استفاده کنیم:
   چیزی که در این قسمت از مسأله به دنبالش هستیم \(\angle{LCA}\) (البته از قسمت بیرون مثلث) می باشد، این زاویه برابر با برینگی است که جولیا و اسحاق را به کمپ اصلی برمیگرداند. برای محاسبۀ این زاویه از آنجا که می دانیم دایره \(360^{\circ}\) می باشد و اگر ما به اندازۀ دو زاویۀ \(\angle{BCL}\) و \(\angle{BCA}\) از \(360^{\circ}\) کم کنیم به اندازۀ \(\angle{LCA}\) خواهیم رسید.
   با در نظر گرفتن خط قاطع \(NM\) و دو خط موازیِ \(BE\) و \(KL\) متوجه می شویم که دو زاویۀ \(\angle{NBE}\) و \(\angle{BCL}\) با یکدیگر متناظر و در نتیجه همنهشت و در نتیجه هم اندازه می باشند.
   $$
   \angle{NBE} = \angle{BCL}\\
   \angle{NBE} = \angle{NBC} - \angle{EBC}\\
   \angle{NBE} = 180^{\circ} - 137^{\circ} = 43^{\circ}\\
   \angle{NBE} = \angle{BCL}= 43^{\circ}
   $$
   اکنون یک تکه از پازل حل این معما را داریم. تکۀ دوم \(\angle{BCA}\) یا در واقع همان \(\angle{C}\) از \(\triangle{ABC}\) می باشد. برای بدست آوردن آن از قانون کسینوس استفاده می کنیم:
   $$
   \angle{C} = \cos^{-1}\biggl( \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} \biggr)\\
   \angle{C} = \cos^{-1}\biggl( \frac{5^2+9.1^2-8^2}{2(5)(9.1)} \biggr)\\
   \angle{C} = 61.221...\\
   \angle{C} \approx 61^{\circ}
   $$
   حالا به راحتی با یک تفریق به اندازۀ زاویۀ برینگ می رسیم:
   $$
   \angle{LCA} = 360^{\circ} - \angle{BCL} - \angle{BCA}\\
   \angle{LCA} = 360^{\circ} - 43^{\circ} - 61^{\circ} = 256^{\circ}
   $$
   برای اینکه جولیا و اسحاق به کمپ اصلیشان بازگردند باید با برینگ \(256^{\circ}\) مسیر را طی کنند.