نقاط \(A(-5,-4)\)، \(B(8,2)\)، و \(C(2,7)\) را در یک محور مختصات ترسیم کنید. خط \(BC\) را ادامه دهید تا محور \(y\) را در نقطۀ \(D\) قطع کند. اندازۀ زاویۀ داخلیِ \(\angle{ABC}\) و اندازۀ زاویۀ خارجیِ \(\angle{ACD}\) را بیابید.

پاسخ

ابتدا با استفاده از فرمول مسافت (distance)، فاصلۀ بین دو نقطه را بدست می آوریم تا پول اضلاع تشکیل دهندۀ \(\triangle{ABC}\) را بیابیم.
$$
AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\\
AB=\sqrt{(8--5)^2 + (2 - -4)^2} \\
AB=\sqrt{13^2+6^2}\\
AB=\sqrt{169+36}\\
AB=\sqrt{205}\\
\text{ }\\[2ex]
AC=\sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\\
AC=\sqrt{(2--5)^2 + (7 - -4)^2}\\
AC=\sqrt{170}\\
\text{ }\\[2ex]
BC=\sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\\
BC=\sqrt{(2-8)^2 + (7 - 2)^2}\\
BC=\sqrt{61}
$$
هم اکنون با استفاده از قانون کسینوس و یک سری محاسبات واضح دیگر اندازۀ زاویا را بدست می آوریم:
$$
\angle{ABC} = \cos^{-1} \biggl( \frac{(\sqrt{61})^2 + (\sqrt{205})^2 - (\sqrt{170})^2 }{2(\sqrt{61})(\sqrt{205})} \biggr) = 64.580...\\
\angle{ABC} \approx 65^{\circ}\\
\text{ }\\[2ex]
\angle{ACB} = \cos^{-1} \biggl( \frac{(\sqrt{170})^2 + (\sqrt{61})^2 - (\sqrt{205})^2 }{2(\sqrt{170})(\sqrt{61})} \biggr) = 82.665...\\
\angle{ACB} \approx 83^{\circ}\\
\text{ }\\[2ex]
\angle{ACD} = \angle{BCD} - \angle{ACB}\\
\angle{ACD} = 180^{\circ} - 83^{\circ} = 97^{\circ}
$$