اگر اضلاع یک مثلث دارای طول های \(2 \text{ m}\)، \(3 \text{ m}\)، و \(4 \text{ m}\) باشند، شعاع دایره ای که این مثلث را احاطه کرده است (دایرۀ محیطیِ آن) چقدر است؟

پاسخ

برای حل این مسأله نیاز به دانستن فرمول شعاع دایرۀ محیطی (Circumradius) در مثلث داریم که در لینک زیر می توانید این فرمول و همینطور اثبات آن را ببینید:

• فرمول شعاع دایرۀ محیطی (Circumradius) در مثلث و اثبات آن

فرمول شعاع دایرۀ محیطی در مثلث بیان می دارد:
$$
R=\frac{abc}{4A}
$$
در این فرمول \(R\) شعاع دایره، \(abc\) اضلاع مثلث و \(A\) مساحت مثلث می باشند.
از آنجا که در اینجا هر سه ضلع مثلث را داریم برای بدست آوردن مساحتش می توانیم از فرمول هرون استفاده کنیم.
$$
A=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\\
s = \frac{1}{2} (a+b+c)\\
s = \frac{1}{2} (2+3+4)=4.5\\
A=\sqrt{4.5(4.5-2)(4.5-3)(4.5-4)}=\sqrt{\frac{135}{16}}
\text{ }\\[2ex]
R=\frac{abc}{4A}\\
R=\frac{2 \cdot 3 \cdot 4}{4(\sqrt{\frac{135}{16}})}=2.065...\\
R \approx 2.1 \text{ m}
$$