خوش آموز درخت تو گر بار دانش بگیرد، به زیر آوری چرخ نیلوفری را


فرمول شعاع دایرۀ محیطی (Circumradius) در مثلث و اثبات آن

فرمول شعاع دایرۀ محیطی (Circumradius) در مثلث و اثبات آن
نویسنده : امیر انصاری
شعاع دایرۀ محیطی (circumradius) در یک چندضلعیِ مدور (cyclic polygon) برابر با شعاع دایرۀ محیطیِ آن چندضلعی است. در یک مثلث (triangle) این برابر با اندازۀ شعاع دایره ای است که آن مثلث را احاطه کرده است. از آنجا که هر مثلثی یک چندضلعیِ مدور است، هر مثلثی دارای یک دایرۀ محیطی (circumcircle) می باشد.

سیستم یکپارچۀ سازمانی راهکار



چندضلعیِ مدور (cyclic polygon): یک چندضلعی مدور است، اگر بتوان آن را در یک دایره محاط کرد، بدین معنا که دایره ای وجود داشته باشد به نحویکه هر رأس از آن چندضلعی بر روی محیط آن دایره قرار بگیرد.

فرمول بدست آوردن شعاع دایرۀ محیطی برای مثلث


فرض کنید \(a\)، \(b\)، و \(c\) نشان دهندۀ سه ضلع یک مثلث باشند و \(A\) نشان دهندۀ مساحت آن مثلث باشد. در این صورت اندازۀ شعاع دایرۀ محیطیِ (circumradius) آن مثلث از فرمول زیر بدست می آید:
$$
R=\frac{abc}{4A}
$$
این فرمول را می توان اینگونه نیز بازنویسی کرد:
$$
A=\frac{abc}{4R}
$$

اثبات این فرمول


شعاع دایرۀ محیطی (Circumradius) در مثلث
در شکل بالا \(\triangle{ABC}\) را در نظر بگیرید. اجازه دهید \(AB=c\)، \(BC=a\)، \(AC=b\)، \(DE=h\)، و \(BO=R\) باشند. از آنجا که \(BD\) قطر این دایره می باشد، می دانیم که \(\angle{BAD}\) یک زاویۀ قائمه (right angle) می باشد. برای درک اینکه چرا این زاویه \(90^{\circ}\) می باشد می توانید آموزش زیر را بخوانید:
همچنین \(\angle{ADB} = \angle{BCA}\)، زیرا هر دوی آنها زوایای مقابل کمان \(AB\) می باشند. بنابراین دو مثلث \(\triangle{BAD}\) و \(\triangle{BEC}\) با یکدیگر متشابه می باشند: \(\triangle{BAD} \sim \triangle{BEC}\). اثبات متشابه بودن این دو مثلث بر اساس روش \(AA\) می باشد، یعنی به دلیل اینکه دو زاویه از آنها با یکدیگر همنهشت می باشند پس متشابه خواهند بود. اگر در مورد اثبات متشابه بودن مثلث ها نیاز به یادآوری دارید می توانید آموزش زیر از دوره آموزشی رایگان هندسه را مرور کنید:
با اثبات متشابه بودن این دو مثلث نسبت زیر را خواهیم داشت:
$$
\frac{BD}{BA} = \frac{BC}{BE}
$$
یا معادل این نسبت می شود:
$$
\frac{2R}{c} = \frac{a}{h}
$$
مساحت \(\triangle{ABC}\) را با \([ABC]\) نشان می دهیم و از آن برای تکمیل اثبات استفاده می کنیم:
$$
[ABC]=\frac{bh}{2}\\
h=\frac{2 \times [ABC]}{b}
$$
حالا مقدار بدست آمده برای \(h\) را در نسبت بدست آمده در بالا جایگزین می کنیم:
$$
\frac{2R}{c}= \frac{a}{\frac{2 \times [ABC]}{b}}
$$
هم اکنون با ساده سازی به نتیجۀ زیر می رسیم:
$$
R=\frac{abc}{4 \times [ABC]}\\
\text{یا}\\
[ABC] = \frac{abc}{4R}
$$



نمایش دیدگاه ها (2 دیدگاه)

دیدگاه خود را ثبت کنید:

انتخاب تصویر ویرایش حذف
توجه! حداکثر حجم مجاز برای تصویر 500 کیلوبایت می باشد.