خوش آموز درخت تو گر بار دانش بگیرد، به زیر آوری چرخ نیلوفری را
فرمول شعاع دایرۀ محیطی (Circumradius) در مثلث و اثبات آن
شعاع دایرۀ محیطی (circumradius) در یک چندضلعیِ مدور (cyclic polygon) برابر با شعاع دایرۀ محیطیِ آن چندضلعی است. در یک مثلث (triangle) این برابر با اندازۀ شعاع دایره ای است که آن مثلث را احاطه کرده است. از آنجا که هر مثلثی یک چندضلعیِ مدور است، هر مثلثی دارای یک دایرۀ محیطی (circumcircle) می باشد.
فرض کنید \(a\)، \(b\)، و \(c\) نشان دهندۀ سه ضلع یک مثلث باشند و \(A\) نشان دهندۀ مساحت آن مثلث باشد. در این صورت اندازۀ شعاع دایرۀ محیطیِ (circumradius) آن مثلث از فرمول زیر بدست می آید:
$$
R=\frac{abc}{4A}
$$
این فرمول را می توان اینگونه نیز بازنویسی کرد:
$$
A=\frac{abc}{4R}
$$
در شکل بالا \(\triangle{ABC}\) را در نظر بگیرید. اجازه دهید \(AB=c\)، \(BC=a\)، \(AC=b\)، \(DE=h\)، و \(BO=R\) باشند. از آنجا که \(BD\) قطر این دایره می باشد، می دانیم که \(\angle{BAD}\) یک زاویۀ قائمه (right angle) می باشد. برای درک اینکه چرا این زاویه \(90^{\circ}\) می باشد می توانید آموزش زیر را بخوانید:
همچنین \(\angle{ADB} = \angle{BCA}\)، زیرا هر دوی آنها زوایای مقابل کمان \(AB\) می باشند. بنابراین دو مثلث \(\triangle{BAD}\) و \(\triangle{BEC}\) با یکدیگر متشابه می باشند: \(\triangle{BAD} \sim \triangle{BEC}\). اثبات متشابه بودن این دو مثلث بر اساس روش \(AA\) می باشد، یعنی به دلیل اینکه دو زاویه از آنها با یکدیگر همنهشت می باشند پس متشابه خواهند بود. اگر در مورد اثبات متشابه بودن مثلث ها نیاز به یادآوری دارید می توانید آموزش زیر از دوره آموزشی رایگان هندسه را مرور کنید:
با اثبات متشابه بودن این دو مثلث نسبت زیر را خواهیم داشت:
$$
\frac{BD}{BA} = \frac{BC}{BE}
$$
یا معادل این نسبت می شود:
$$
\frac{2R}{c} = \frac{a}{h}
$$
مساحت \(\triangle{ABC}\) را با \([ABC]\) نشان می دهیم و از آن برای تکمیل اثبات استفاده می کنیم:
$$
[ABC]=\frac{bh}{2}\\
h=\frac{2 \times [ABC]}{b}
$$
حالا مقدار بدست آمده برای \(h\) را در نسبت بدست آمده در بالا جایگزین می کنیم:
$$
\frac{2R}{c}= \frac{a}{\frac{2 \times [ABC]}{b}}
$$
هم اکنون با ساده سازی به نتیجۀ زیر می رسیم:
$$
R=\frac{abc}{4 \times [ABC]}\\
\text{یا}\\
[ABC] = \frac{abc}{4R}
$$
چندضلعیِ مدور (cyclic polygon): یک چندضلعی مدور است، اگر بتوان آن را در یک دایره محاط کرد، بدین معنا که دایره ای وجود داشته باشد به نحویکه هر رأس از آن چندضلعی بر روی محیط آن دایره قرار بگیرد.
فرمول بدست آوردن شعاع دایرۀ محیطی برای مثلث
فرض کنید \(a\)، \(b\)، و \(c\) نشان دهندۀ سه ضلع یک مثلث باشند و \(A\) نشان دهندۀ مساحت آن مثلث باشد. در این صورت اندازۀ شعاع دایرۀ محیطیِ (circumradius) آن مثلث از فرمول زیر بدست می آید:
$$
R=\frac{abc}{4A}
$$
این فرمول را می توان اینگونه نیز بازنویسی کرد:
$$
A=\frac{abc}{4R}
$$
اثبات این فرمول
در شکل بالا \(\triangle{ABC}\) را در نظر بگیرید. اجازه دهید \(AB=c\)، \(BC=a\)، \(AC=b\)، \(DE=h\)، و \(BO=R\) باشند. از آنجا که \(BD\) قطر این دایره می باشد، می دانیم که \(\angle{BAD}\) یک زاویۀ قائمه (right angle) می باشد. برای درک اینکه چرا این زاویه \(90^{\circ}\) می باشد می توانید آموزش زیر را بخوانید:
همچنین \(\angle{ADB} = \angle{BCA}\)، زیرا هر دوی آنها زوایای مقابل کمان \(AB\) می باشند. بنابراین دو مثلث \(\triangle{BAD}\) و \(\triangle{BEC}\) با یکدیگر متشابه می باشند: \(\triangle{BAD} \sim \triangle{BEC}\). اثبات متشابه بودن این دو مثلث بر اساس روش \(AA\) می باشد، یعنی به دلیل اینکه دو زاویه از آنها با یکدیگر همنهشت می باشند پس متشابه خواهند بود. اگر در مورد اثبات متشابه بودن مثلث ها نیاز به یادآوری دارید می توانید آموزش زیر از دوره آموزشی رایگان هندسه را مرور کنید:
با اثبات متشابه بودن این دو مثلث نسبت زیر را خواهیم داشت:
$$
\frac{BD}{BA} = \frac{BC}{BE}
$$
یا معادل این نسبت می شود:
$$
\frac{2R}{c} = \frac{a}{h}
$$
مساحت \(\triangle{ABC}\) را با \([ABC]\) نشان می دهیم و از آن برای تکمیل اثبات استفاده می کنیم:
$$
[ABC]=\frac{bh}{2}\\
h=\frac{2 \times [ABC]}{b}
$$
حالا مقدار بدست آمده برای \(h\) را در نسبت بدست آمده در بالا جایگزین می کنیم:
$$
\frac{2R}{c}= \frac{a}{\frac{2 \times [ABC]}{b}}
$$
هم اکنون با ساده سازی به نتیجۀ زیر می رسیم:
$$
R=\frac{abc}{4 \times [ABC]}\\
\text{یا}\\
[ABC] = \frac{abc}{4R}
$$
لیست دوره های آموزش ریاضی در سایت خوش آموز
برای مشاهدۀ همۀ دوره های ریاضی اینجا کلیک کنید.
- دوره آموزشی رایگان ریاضی پایه و پیش جبر
- تمرینات دوره آموزشی ریاضی پایه و پیش جبر
- دوره آموزشی رایگان جبر 1
- دوره آموزشی رایگان جبر 2
- دوره آموزشی رایگان هندسه
- دوره آموزشی رایگان مثلثات
- دوره آموزشی رایگان پیش حسابان 1
- دوره آموزشی رایگان حسابان 1
- آموزش رایگان حسابان پیشرفته
برای مشاهدۀ همۀ دوره های ریاضی اینجا کلیک کنید.
نمایش دیدگاه ها (2 دیدگاه)
دیدگاه خود را ثبت کنید: