خوش آموز درخت تو گر بار دانش بگیرد، به زیر آوری چرخ نیلوفری را


تمرین 29: قانون کسینوس، توسعه

تمرین 29: قانون کسینوس، توسعه
نویسنده : امیر انصاری
\(\triangle{ABC}\) بر روی یک صفحۀ مختصات دکارتی قرار گرفته است و \(\angle{BCA}\) در موقعیت استاندارد قرار دارد. مختصات نقطۀ \(B\) برابر با \((-x,y)\) می باشد. از نسبت های مثلثاتی اصلی و قضیۀ فیثاغورث برای اثبات قانون کسینوس استفاده کنید.

سیستم یکپارچۀ سازمانی راهکار



تمرین 29: قانون کسینوس، توسعه

پاسخ


تمرین 29: قانون کسینوس، توسعه
$$
\cos \theta_R = -\cos \theta = -\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\\
b=\sqrt{x^2+y^2}\\
c = \sqrt{(a+x)^2+y^2}
$$
می خواهیم قانون کسینوس را اثبات کنیم، یعنی اثبات کنیم که \(c^2=a^2 + b^2 - 2ab \cos C\) می باشد. برای این منظور سمت چپ و راست این قانون (یعنی این معادله) را محاسبه می کنیم و اگر هر دو سمت آن برابر باشند، اثبات می شود که این قانون برقرار است.
ابتدا به سراغ سمت چپ می رویم:
$$
c^2 = \biggl( \sqrt{(a+x)^2+y^2} \biggr)^2\\
= (a+x)^2 + y^2\\
= a^2 + 2ax + x^2 + y^2
$$
حالا به سراغ سمت راست معادلۀ بالا می رویم:
$$
a^2 + b^2 - 2ab \cos C = a^2 + \biggl( \sqrt{x^2+y^2} \biggr)^2 - 2a\biggl( \sqrt{x^2+y^2} \biggr) \biggl( -\frac{x}{x^2+y^2} \biggr)\\
=a^2+x^2+y^2-2ax\\
=a^2 + 2ax + x^2 + y^2
$$
همانطور که دیدید نتیجۀ محاسبۀ هر دو سمت این معادله با هم برابرند و در نتیجه قانون کسینوس صحیح می باشد.



نمایش دیدگاه ها (0 دیدگاه)

دیدگاه خود را ثبت کنید:

انتخاب تصویر ویرایش حذف
توجه! حداکثر حجم مجاز برای تصویر 500 کیلوبایت می باشد.