خوش آموز درخت تو گر بار دانش بگیرد، به زیر آوری چرخ نیلوفری را


مثال 1: ترسیم نمودارهای توابع درجه دوم در شکل رأس

مثال 1: ترسیم نمودارهای توابع درجه دوم در شکل رأس
نویسنده : امیر انصاری
برای هر تابع ویژگی های زیر را تعیین کنید.

سیستم یکپارچۀ سازمانی راهکار
  • رأس (vertex)


  • دامنه (domain) و برد (range)
  • جهت باز شدن
  • معادلۀ محور تقارن (axis of symmetry)
سپس هر نمودار را ترسیم کنید.

  1. $$
    y=2(x+1)^2-3
    $$
  2. $$
    y=-\frac{1}{4}(x-4)^2 +1
    $$

پاسخ


  1. از مقادیر \(a\)، \(p\)، و \(q\) برای تعیین برخی از ویژگی های \(y=2(x+1)^2-3\) استفاده کنید و نمودار آن را ترسیم کنید.

    مثال 1: ترسیم نمودارهای توابع درجه دوم در شکل رأس
    از آنجا که \(p=-1\) و \(q=-3\)، رأس این سهمی در \((-1,-3)\) قرار گرفته است.
    از آنجا که \(a \gt 0\)، این نمودار رو به سمت بالا باز می شود. از آنجا که \(a \gt 1\)، این سهمی در مقایسه با \(y=x^2\) باریک تر است.
    از آنجا که \(q=-3\)، برد این تابع برابر با \(\{ y | y \ge -3, y \in R \}\) می باشد.
    از آنجا که \(p=-1\)، معادلۀ محور تقارن برابر با \(x=-1\) است.

    روش 1: ترسیم نمودار با استفاده از تبدیلات


    با تبدیل نمودار \(y=x^2\)، نمودار \(y=2(x+1)^2-3\) را ترسیم کنید.
    • از نقاط \((0,0)\)، \((1,1)\)، و \((-1,1)\) برای ترسیم نمودار \(y=x^2\) استفاده کنید.
    • تغییر در عرض نمودار را اِعمال کنید.
      هنگامی که از تبدیلات برای ترسیم نمودار استفاده می کنید، ابتدا باید پارامتر \(a\) را در نظر بگیرید، زیرا این پارامتر مرجع مورد استفاده برای عریض تر شدن یا باریک تر شدن در ارتباط با محور \(y\) می باشد.
      مثال 1: ترسیم نمودارهای توابع درجه دوم در شکل رأس
    • نمودار را جابجا (Translate) کنید.
      مثال 1: ترسیم نمودارهای توابع درجه دوم در شکل رأس

    روش \(2\): ترسیم نمودار با استفاده از نقاط و تقارن


    • مختصات رأس یعنی \((-1,-3)\) را مشخص کنید و محور تقارن، \(x=-1\)، را ترسیم کنید.
    • مختصات یک نقطۀ دیگر را بر روی سهمی تعیین کنید.

    عرض از مبدأ (y-intercept) انتخاب خوبی برای نقطه ای دیگر می باشد. برای تعیین عرض از مبدأ \(x\) را برابر با \(0\) قرار دهید.
    $$
    x=0\\
    y=2(0+1)^2-3\\
    y=2(1)^2-3\\
    y=-1
    $$
    مختصات این نقطه \((0,-1)\) می باشد.

    به ازاء هر نقطۀ دیگر به غیر از رأس، یک نقطۀ متناظر وجود دارد که فاصله اش تا محور تقارن برابر می باشد. در این مورد، نقطۀ متناظر \((0,-1)\) برابر با \((-2,-1)\) می باشد.

    این دو نقطه را روی صفحۀ مختصات مشخص کنید و ترسیم سهمی را کامل کنید.

    مثال 1: ترسیم نمودارهای توابع درجه دوم در شکل رأس
  2. در تابع درجه دوم \(y=-\frac{1}{4}(x-4)^2+1\)، داریم \(a=-\frac{1}{4}\)، \(p=4\)، و \(q=1\) .
    رأس در \((4,1)\) قرار گرفته است.
    نمودار آن رو به سمت پایین باز می شود و از نمودار \(y=x^2\) عریض تر است.
    برد آن برابر است با \(\{ y | y \le 1, y \in R \}\)
    دامنۀ آن برابر است با \(\{ x| x \in R \}\)
    معادلۀ محور تقارن آن برابر است با \(x=4\)

    با استفاده از اطلاعات بدست آمده از \(y=-\frac{1}{4}(x-4)^2 + 1\) در شکل رأس، نمودار این تابع را بکشید.
    • رأس را در \((4,1)\) مشخص سازید.
    • نقطه ای را بر روی نمودار ترسیم کنید. برای مثال، با جایگزینی \(x=0\) در این تابع، عرض از مبدأ آن را مشخص سازید.
    $$
    y=-\frac{1}{4}(0-4)^2+1\\
    y=-\frac{1}{4}(-4)^2+1\\
    y=-4+1\\
    y=-3
    $$
    نقطۀ \((0,-3)\) بر روی این نمودار قرار دارد.

    به ازاء هر نقطه به جز رأس، یک نقطۀ متناظر بر روی نمودار وجود دارد که فاصله اش تا محور تقارن با فاصلۀ آن نقطه تا محور تقارن یکسان می باشد. در این مورد، نقطۀ متناظر با \((0,-3)\) برابر با \((7,-3)\) می باشد.

    این دو نقطۀ اضافی را نیز بر روی نمودار مشخص کنید و سهمی را ترسیم کنید.

    مثال 1: ترسیم نمودارهای توابع درجه دوم در شکل رأس

حالا نوبت شماست


برای هر تابع ویژگی های زیر را تعیین کنید.
  • رأس سهمی
  • دامنه و برد تابع
  • جهت باز شدن سهمی
  • معادلۀ محور تقارن
سپس نمودار هر تابع را بکشید.

  1. $$
    y=\frac{1}{2}(x-2)^2-4
    $$
  2. $$
    y=-3(x+1)^2+3
    $$

یادداشت مترجم: پاسخ حالا نوبت شماست را در قسمت دیدگاه ها درج کنید.


نمایش دیدگاه ها (0 دیدگاه)

دیدگاه خود را ثبت کنید:

انتخاب تصویر ویرایش حذف
توجه! حداکثر حجم مجاز برای تصویر 500 کیلوبایت می باشد.