کف پل "لایون گیت" (Lions’ Gate) در ونکوور (Vancouver) از دو کابل اصلی متصل به نوک دو ستون در شکل برج آویزان است. بین این دو برج، کابل های اصلی همینطور که وزن کف پل را تحمل می کنند، شکل یک سهمی را به خود گرفته اند. ارتفاع این برج ها از سطح آب \(111 \text{ m}\)، و فاصلۀ بین آنها \(472 \text{ m}\) می باشد. پایینترین نقطۀ کابل تقریباً \(67 \text{ m}\) بالای سطح آب قرار دارد.

1. شکل این کابل ها را با یک تابع درجه دوم در شکل رأس، مدلسازی کنید.
   
2. ارتفاع نقطه ای بر روی این کابل ها که در فاصلۀ افقیِ \(90 \text{ m}\) از یکی از این برج ها قرار دارد را از سطح آب تعیین کنید. پاسختان را به نزدیکترین دهم متر بیان کنید.
   

پاسخ

1. طرحی بکشید و آن را با اطلاعات داده شده برچسب گذاری کنید.
   اجازه دهید رأس این شکل سهمی وار در مبدأ مختصات باشد.
   دو محور مختصات ترسیم کنید. اجازه دهید \(x\) و \(y\)، به ترتیب نشان دهندۀ مسافت های افقی و عمودی از پایینترین نقطۀ این کابل ها باشند.
   اگر مختصات رأس و یک نقطۀ دیگر بر روی سهمی را داشته باشید می توانید تابع درجه دوم آن را بنویسید. رأس این سهمی در نقطۀ \((0,0)\) قرار دارد، زیرا در مبدأ مختصات است. با کمک مسافت های داده شده، مختصات نقاط بالای نوک برج ها را تعیین کنید.
   
   برای بزرگنمایی تصویر روی آن کلیک کنید
   از آنجا که رأس این سهمی در مبدأ مختصات قرار گرفته است، هیچ انتقال افقی یا عمودی ضرورتی ندارد و \(p\) و \(q\)، هر دو صفر هستند. بنابراین این تابع درجه دوم در شکل \(f(x)=ax^2\) می باشد.
   
   مختصات نوک یکی از برج ها، \((236,44)\)، را در معادلۀ \(f(x)=ax^2\) جایگذاری کنید و آن را برای بدست آوردن \(a\) حل کنید.
   $$
   f(x)=ax^2\\
   \color{red}{44}=a(\color{red}{236})^2\\
   44=a(55,696)\\
   44=55,696a\\
   \frac{44}{55,696}=a\\
   \frac{11}{13,924}=a
   $$
   می توانید شکل این کابل ها را با تابع درجه دوم زیر نشان دهید:
   $$
   f(x)=\frac{11}{13,924}x^2
   $$
   
2. نقطه ای که در فاصلۀ \(90 \text{ m}\) از یکی از برج ها قرار دارد، از رأس سهمی به میزان \(236-90\) یا \(146 \text{ m}\) فاصله خواهد داشت. \(146\) را جایگزین \(x\) کنید و مقدار \(f(146)\) را تعیین کنید.
   $$
   f(x)=\frac{11}{13,924}x^2\\
   f(\color{red}{146})=\frac{11}{13,924}(\color{red}{146})^2\\
   f(146)=\frac{11}{13,924}(21,316)\\
   f(146)=16.839...
   $$
   این نقطه تقریباً \(16.8 \text{ m}\) بالاتر از پایینترین نقطۀ کابل می باشد که اگر ارتفاعش از سطح آب را بخواهیم، \(67+16.8\) یا \(83.8 \text{ m}\) می باشد.
   

حالا نوبت شماست

یک گذرگاه با طاق قوسی شکل را در نظر بگیرید که عرض آن \(280 \text{ cm}\) و ارتفاع آن در بالاترین نقطه اش از کف زمین \(216 \text{ cm}\) می باشد.

1. یک تابع درجه دوم در شکل رأس بنویسید که شکل این گذرگاه قوسی شکل را مدل سازی کند.
   
2. ارتفاع این گذرگاه را در نقطه ای که از یک لبۀ بیرونی آن \(50 \text{ cm}\) فاصله دارد، تعیین کنید.