نویسنده : امیر انصاری

1. توابع درجه دومی در شکل رأس بنویسید که نشان دهندۀ سه مسیر منحنی پرتابۀ مختلف باشند که طی آنها توپ بسکتبال نشان داده شده در تصویر زیر بتواند بدون برخورد با تختۀ پشتی حلقۀ بسکتبال، مستقیماً از داخل حلقه عبور کند.
   
   
   
2. فکر می کنید کدام یک از سه تابع درجه دوم شما واقعی تر از سایر پرتاب ها باشد. افکارتان را توضیح دهید.
   
   
   
   
3. فکر می کنید در این وضعیت یک دامنه و برد منطقی چه باشند؟
   

پاسخ

1. مثال ها:
   ما \(x=8\) را به عنوان محور تقارن در نظر می گیریم، موقعیت حلقۀ بسکتبال را نیز \((1,10)\) در نظر می گیریم، و اجازه می دهیم که این توپ بسکتبال در ارتفاع های مختلف (\(6 \text{ ft}\)، \(7 \text{ ft}\)، و \(8 \text{ ft}\)) از فاصلۀ \(16 \text{ ft}\) از این حلقه پرتاب شوند. در هر کدام از این سناریو ها، مختصات نقاط پرتاب توپ را در تابع \(y=a(x-8)^2+q\) جایگذاری کنید تا به عبارتی برای \(q\) برسید. سپس، عبارت بدست آمده برای \(q\) را در مختصات حلقه در تابع جایگزین کنید. سه تابع ما عبارتند از:
   $$
   y=-\frac{4}{15}(x-8)^2+\frac{346}{15}\\
   y=-\frac{3}{15}(x-8)^2+\frac{297}{15}\\
   y=-\frac{2}{15}(x-8)^2+\frac{248}{15}
   $$
   برای اینکه درک بهتری از چگونگی حل این مسأله پیدا کنید، رسیدن به یکی از این توابع را با جزئیات بیشتر نشان می دهیم (در واقع در اینجا به یک دستگاه معادلات دو مجهولی رسیده ایم که در این مورد با روش جایگزینی حلش کرده ایم):
   $$
   y=a(x-8)^2+q\\
   (x,y): (16,8)\\
   8=a(16-8)^2+q\\
   8=64a+q\\
   8-64a=q\\
   (x,y): (1,10)\\
   y=a(x-8)^2+q\\
   10=a(1-8)^2+(8-64a)\\
   10=49a+8-64a\\
   2=-15a\\
   -\frac{2}{15}=a\\
   y=a(x-8)^2+q\\
   y=-\frac{2}{15}(x-8)^2+q\\
   y=-\frac{2}{15}(x-8)^2+(8-64a)\\
   y=-\frac{2}{15}(x-8)^2+(8-64(-\frac{2}{15}))\\
   y=-\frac{2}{15}(x-8)^2+(8+\frac{128}{15})\\
   y=-\frac{2}{15}(x-8)^2+\frac{248}{15}
   $$
   
2. مثال: تابع \(y=-\frac{4}{15}(x-8)^2+\frac{346}{15}\) اطمینان می دهد که این توپ به سادگی از حلقه عبور کند.
   
   
3. دامنه: \(\{x| 0 \le x \le 16, x \in R \}\)
   برد: \(\{ y| 0 \le y \le \frac{346}{15}, y \in R \}\)