مسأله های محیط (Perimeter)، مساحت (area)، و حجم (volume) از پرکاربردترین انواع مسأله های داستانی می باشند. اجتناب کردن از وضعیتهایی در زندگی واقعی که شما باید با یک یا چند تا از این اندازه گیری ها سر و کله بزنید، مشکل است. برای مثال، روزی شما می خواهید حیاطتان را حصار بندی کنید و نیاز به پیدا کردن محیط حیاطتان دارید تا بدانید چقدر مصالح نیاز دارید. شاید شما چشم انتظار یک بچه هستید و می خواهید اتاقی را به منزلتان اضافه کنید، شما می توانید از یک فرمول مساحت استفاده کنید تا میزان فضای مورد نیاز اتاق جدیدتان را محاسبه کنید. پیدا کردن یک جعبه برای هدیه تولد هشتاد سالگی عمه بی (Bea) ممکن است نیاز به محاسبه حجم جعبه های استاندارد داشته باشد، شاید هم برای هدیه خاصتان مجبور بشوید جعبه خاصی بسازید. شانس با شما همراه بوده، برای مقابله با تمامی این وضعیتها فرمول های استانداری موجود هستند، و بسیاری از آنها را در همین بخش خواهید دید.

محیط و مساحت

محیط (Perimeter) اندازه گیری حاشیه بیرونی یک ناحیه می باشد. وقتی می خواهید اطراف یک حیاط را حصارکشی کنید، یا اطراف یک اتاق را قرنیز بندی کنید، محیط مورد استفاده قرار می گیرد. پلیس در محیط یک صحنه تصادف یا صحنه جرم، نوار زرد رنگ مخصوصی می کشد.


مثال: جووان (Juan) می خواهد دور یک مزرعه مستطیل شکل در امتداد رودخانه را برای گله گوسفندانش حصار کشی کند. او در سمتی از مزرعه که در امتداد رودخانه می باشد نیاز به حصار کشی ندارد و قصدش اینست که آن سه سمت دیگر مزرعه را حصار ببندد. جووان می خواهد طول مزرعه اش دو برابر عرض آن باشد، و مساحت کلی آن برابر با \(80,000\) فوت مربع (square feet) باشد. ابعاد مزرعه او چقدر باید باشند، و او چقدر حصار نیاز خواهد داشت؟

این مسأله یک مثال کلاسیک از نیاز به یک تصویر می باشد. شکل 1-18 یک طرح محتمل برای این وضعیت را نشان می دهد. جووان فرض می کند که گوسفندان شنا نمی کنند، بنابراین او فکر می کند با حصار نکشیدن امتداد رودخانه می تواند در هزینه هایش صرفه جویی کند. (آیا تا بحال بوی پشم مرطوب را حس کرده اید؟)


اولین موضوع رسیدگی به مساحت است. فرمول مساحت مستطیل \(A=lw\) می باشد. مساحت \(80,000\) فوت مربع (square feet) می باشد، بنابراین \(80,000=lw\) .

در اینجا دو متغیر داریم. برای اینکه معادله را به نحوی تغییر بدهیم که فقط یک متغیر داشته باشد، به مسأله باز گردید، جایی از مسأله می گوید جووان می خواهد طول مزرعه اش دوبرابر عرض آن باشد. معنای این جمله می شود \(l=2w\) . در فرمول مساحت \(l\) را با \(2w\) جایگزین کنید. خواهید داشت:
$$ 80,000 = 2w \cdot w $$
$$ 80,000 = 2w^2 $$
این معادله را برای \(w\) حل کنید:
ابتدا دو سمت معادله را بر \(2\) تقسیم کنید:
$$ 40,000 = w^2 $$
سپس جذر هر دو سمت را بگیرید:
$$ w = 200$$
عرض مزرعه \(200\) فوت می باشد. طول آن که دوبرابر عرضش است می شود \(400\) فوت. اگر سه سمت مزرعه نیاز به حصارکشی داشته باشد، میزان حصار مورد نیاز برابر است با \(200+400+200\)، که مجموعش \(800\) فوت می گردد.

تنظیم کردن مساحت

مساحت اندازه گیری ناحیه هایی از سطح می باشد که دارای شکل یا اندازه می باشند. در هنگام حل کردن مسائل مربوط به مساحت، اگر شکل مربوطه را بدانید به سادگی می توانید مساحت را تعیین کنید، زیرا فرمولهای زیبایی برای کار کردن با اشکال مختلف وجود دارند. شما فقط کافیست شکل را با فرمولش مطابقت دهید.

مثال: اِلی (Eli) و اِستر (Esther) به بزرگ کردن اتاق خانوادگی (family room) فکر می کنند. در حال حاضر، اتاق خانوادگی آنها یک مستطیل با مساحت \(120\) فوت مربع (square feet) می باشد. اگر آنها طول اتاق را \(4\) فوت افزایش دهند و عرض آن را نیز \(5\) فوت افزایش بدهند، مساحت جدید اتاق خانوادگی \(240\) فوت مربع خواهد شد. ابعاد فعلی اتاق خانوادگی آنها چقدر است، و ابعاد جدید چقدر خواهند بود؟

یک مستطیل بکشید، ضلع کوچکتر را \(w\) نامگذاری کنید و ضلع بزرگتر را \(l\) بنامید. مساحت مستطیل \(A=lw\) می باشد، بنابراین، در این مورد، از آنجا که شما مساحت را می دانید، این معادله را به شکل \(120=lw\) بنویسید.

طول به اندازه \(4\) فوت افزایش می یابد، بنابراین \(l+4\) را به نمایندگی از طول جدید بنویسید، و عرض به اندازه \(5\) فوت افزایش می یابد، بنابراین \(w+5\) را به عنوان عرض جدید بنویسید.

مساحت جدید \(240\) فوت مربع (square feet) می باشد، بنابراین \(240=(l+4)(w+5)\) .

در اتاق اصلی، \(120=lw\) ، بنابراین شما می توانید این معادله را برای \(l\) حل کنید و آن را در معادله جدید جایگزین نمایید: \(l={120 \over w}\)
$$ \biggl({120 \over w}+4\biggl)(w+5)=240 $$
با استفاده از عملیات FOIL سمت چپ را ساده سازی کنید (برای اطلاعات بیشتر در مورد FOIL فصل 9 را ببینید):
$$ 120+{600 \over w}+4w+20=240 $$
$$ {600 \over w}+4w=100 $$
برای حل این معادله، با ضرب کردن هر دو سمت در \(w\) از شر کسر خلاص شوید:
$$ 600 +4w^2 = 100w $$
اکنون یک معادله درجه دوم (quadratic equation) دارید که باید حل شود:
$$ 4w^2-100w+600=0 $$
\(4\) را از معادله فاکتور بگیرید تا ضریب ها وثابت کوچکتر شوند:
$$ w^2-25w+150=0 $$
معادله درجه دوم را با عملیات unFOIL فاکتورگیری کنید:
$$ (w-15)(w-10)=0 $$
حال با استفاده ا از ویژگی ضرب صفر (MPZ) خواهیم داشت \(w-15=0\) یا \(w-10=0\) که پاسخهایش \(w=15\) یا \(w=10\) می شود:

• اگر \(w=15\) ، سپس \(l={120 \over 15}=8\) ، عرض \(5\) واحد و طول \(4\) واحد افزایش می یابد که به شما ابعاد جدید \(20\) در \(12\) را نتیجه می دهد.
  
• اگر \(w=10\) ، سپس \(l={120 \over 10}=12\) ، عرض \(5\) واحد و طول \(4\) واحد افزایش می یابد که به شما ابعاد جدید \(15\) در \(16\) را نتیجه می دهد.
  

از لحاظ فنی، هر دوی این پاسخها به درستی کار می کنند. اگر بتوانید قبول کنید که عرض می تواند از طول بزرگتر باشد، هر دو پاسخهای قابل قبولی هستند. در مورد \(w=15\) ، عرض برابر با \(15\) و طول برابر با \(8\) می باشد. اگر شما سر این عقیده محکم پافشاری کنید که عرض حتماً باید از طول کمتر باشد، سپس فقط پاسخ دوم صحیح می باشد: ابعاد اصلی برابر با \(10\) و \(12\) هستند و ابعاد جدید برابر با \(15\) و \(16\) اند.

حجم (volume)

مساحت یک اندازه گیری مسطح است. مساحت می تواند در کف زمین یا زمین ورزشی، در دوبُعد نمایش داده شود. حجم یک بُعد سوم اضافه می کند، شکل 2-18 این مسأله را به شما نشان می دهد. یک اتاق \(10\) فوت در \(12\) فوت با ارتفاع \(8\) فوت تا سقف را در نظر بگیرید. شما در مورد مساحتی \(10 \times 12\) ، یا \(120\) فوت مربع (square feet) صحبت می کنید، که با در نظر گرفتن ارتفاع آن، حجمی از \(120 \times 8\) یا \(960\) فوت مکعب (cubic feet) می شود. حجم در واحدهای مکعبی (cubic) اندازه گیری می شود. میزان گاز موجود در یک بالون یک واحد مکعبی است. میزان سیمان موجود در یک پیاده رو یک واحد مکعبی می باشد.

یک مکعب (cube) یک جعبه است که دارای طول، عرض، و ارتفاع برابر می باشد. می توانید یک حبه قند مکعبی یا یک جفت تاس را تصور کنید. حجم یک مکعب (جعبه)، برابر با مکعب (توان سوم) یک ضلع از آن می باشد: \(V=s^3\) .


مثال: عمه سادی (Sadie) معامله فوق العاده ای بر روی مقداری آب نباتهای شکلاتی داشت. شما محبوب ترین برادر زاده او هستید، بنابراین عمه سادی می خواهد همه آن آب نباتها را برای شما بفرستد. آب نباتها یک کیسه پلاستیکی بزرگ دارند، اما عمه سادی می خواهد آنها را در یک جعبه برایتان بفرستد. آب نباتها \(900\) اینچ مکعب (cubic inches) فضا اشغال می کنند. اگر جعبه ای که عمه می خواهد در آن آب نباتها را برایتان بفرستد، یک جعبه با کف \(9\) اینچ در \(9\) اینچ باشد، سپس ارتفاع جعبه باید چقدر باشد تا تمامی آب نباتها در آن جا شود؟


در این مورد، کف جعبه یک مربع می باشد، و هر ضلع آن \(9\) اینچ می باشد، بنابراین، این مقادیر را در فرمول جایگذاری کنید:
$$900=9(9)(h)$$
با ساده سازی خواهید داشت:
$$900=81h$$
معادله را برای \(h\) حل کنید. هر سمت را بر \(81\) تقسیم کنید:
$$ {900 \over 81} = h $$
$$ h = 11{1 \over 9} \text{ inches } $$

ساختن یک هرم (pyramid)

هرم ها در زمرۀ شناخته شده ترین اشکال هندسی می باشند. بچه ها در اوایل دوران مدرسه شان با اهرام مصر آشنا می شوند. شما شکل هرم را در همه چیز از چادر های مسافرتی تا سایتهای مدیتیشن و همینطور در شکل 3-18 می بینید. اگر چادر مسافرتی شما به شکل هرم باشد، شما می توانید حجم آن را بدست آورید تا بدانید آیا شما و سه دوست شما همگی در آن جا می شوید. شما جا برای نفس کشیدن هم می خواهید.



مثال: هرم بزرگ مصر (Great Pyramid of Cheops) یک توده جامد متشکل از بلوک های سنگ آهک می باشد. تخمین زده می شود که این هرم متشکل از \(2.3\) میلیون بلوک سنگی باشد. در ابتدا، پایه هرم یک مربع \(756\) فوت در \(756\) فوت، و ارتفاع آن \(480\) فوت بوده است، اما باد و شن به مرور زمان آن را ساییده است. وانمود کنید که هرم هنوز ابعاد اصلی اش را دارد. اگر هر کدام از بلوک ها یک مکعب باشند، ابعاد مکعب ها چقدر می باشند؟

شما فقط یک اندازه گیری دارید که باید آن را نامگذاری کنید - اندازه هر لبه مکعب - بنابراین آن را \(x\) بنامید. ابتدا حجم هرم بزرگ مصر را در واحد فوت مکعب (cubic feet) بیابید:
$$ V={1 \over 3}(756^2)(480)=91,445,760 \text{ cubic feet } $$
اگر هر بلوک یک مکعب \(1\) فوت در \(1\) فوت در \(1\) فوت باشد، بیش از \(91\) میلیون مکعب در هرم خواهیم داشت. اما، طبق تخمین زده شده، حدود \(2.3\) میلیون بلوک سنگی در هرم وجود دارد و نه \(91\) میلیون، بنابراین:
$$ 91,445,760 \div 2,300,000 \approx 39.759 $$
معنای محاسبه بالا این می باشد که حجم هر کدام از این \(2.3\) میلیون بلوک سنگی در حدود \(39\) فوت مکعب (cubic feet) می باشد. برای پیدا کردن اندازه هر لبه، که ابعاد را به شما می دهد، به فرمول محاسبه حجم مکعب نگاهی بیندازید که \(V=s^3\) می باشد. در این مورد، \(s\) را به طول یک ضلع اختصاص بدهید. بنابراین اگر \(V=39.759=s^3\) ، سپس:
$$ s=\sqrt[3]{39.759} \approx 3.413 $$
بنابراین لبه هر مکعب در حدود \(3{1 \over 2}\) فوت می باشد.

یک سنگ بزرگ با ابعادی بزرگتر از یک یارد در هر لبه آن را تصور کنید (بنا به گزارش ها، برخی از سنگ ها از این ابعاد هم بزرگتر هستند). حالا تصور کنید چگونه این سنگ ها را تا بالای هرم حمل کرده اند.

کره (sphere)

محاسبه اینکه چقدر هوا نیاز دارید تا یک بادکنک \(9\) اینچی را بترکانید که شامل اینچ مکعب از هوا، فشار، نیروی محرکه، و همه انواع پیچیده فیزیک می باشد، و در آخر آیا اصلاً برایتان مهم است که بقیه اش را بدانید؟ شما صرفاً فوت می کنید تا بادکنک پر شود. اما به این معنا نیست که شما ممکن باشد نخواهید بدانید به چندتا بادکنک نیاز دارید تا توری بادکنک بزرگی را که برای جشن پنج سالگی تان اجاره کرده اید، پر کند.

مثالهای این بخش شامل کره های خیلی بزرگتر هستند - در واقع، چندتا سیاره - اما من نهایت سعیم را می کنم تا پاهای شما را روی زمین نگهدارم. شکل 4-18 یک کره را به شما نشان می دهد.



مثال: انجمن برادری دن (Dan) برنامه دارد تا یک شوخی خرکی طراحی کند - تا دخترانی را که در انجمن خواهری همسایه هستند، تحت تاثیر قرار بدهد. آنها برنامه دارند تا یک بالون کروی شکل را پر از آب کنند و سپس در یک لحظه مناسب بادکنک را بترکانند. بادکنکی که آنها خریده اند تا قطر \(20\) فوت منبسط می شود. چند گالن (gallons) آب برای پر کردن بادکنک مورد نیاز است؟ (پیچ و تاب برداشتن احتمالی بادکنک و وزن آب را نادیده بگیرید - به هر حال رویای دَن اینست که نقشه اش درست کار کند.)

با استفاده از فرمول حجم کره، شما \(r\) را با \(10\) جایگزین می کند، اگر قطر\(20\) فوت باشد، سپس شعاع \(10\) فوت خواهد بود.
$$ V={4\over 3}\pi(10^3) \approx 4,188.790 \text{ cubic feet of water } $$
اکنون به معادله ای برای تبدیل فوت مکعب (cubic feet) به گالن (gallons) نیاز دارید. یک فوت مکعب تقریباً برابر با \(7.481\) گالن می باشد. برای پیدا کردن مجموع گالن های مورد نیاز، عدد فوت مکعب را در عدد گالن ضرب کنید و خواهید داشت: \((4188.790)(7.481)=31,336.33799\) . من فکر می کنم بهتر باشد این ایده درخشان را دور بریزند.