تابع چیست؟ (تابع در ریاضی)

تابع (function) در ریاضی چیست؟ در ریاضی تابع چیزی است که یک مجموعه را به مجموعۀ دیگری مرتبط می سازد. یک مجموعه گروهی از چیزها می باشد. البته اغلب گروهی از اعداد می باشد، اما این مجموعه می تواند شامل حروف الفبا، اسامی، یا هر چیز دیگری باشد. هر چند مجموعه ها را در ریاضی می توان به اشکال مختلف نشان داد، اما در ریاضی معمولاً آنها را به شکل زیر با نماد مجموعه ها نمایش می دهند.

$$
\{ 1,2,3,4,5 \}\\
\{ a,b,c,d,e \}
$$
یک مجموعه می تواند دارای تعداد محدودی عضو باشد، همچنین می تواند دارای بی نهایت عضو نیز باشد. به عنوان مثال مجموعه حروف الفبای انگلیسی دارای $26$ عضو می باشد.
$$
\{ a,b,c, ... , x,y,z \}
$$
در مقابل مجموعه ای مانند مجموعه اعداد صحیح دارای بی نهایت عضو می باشد.
$$
\{ ...,-2,-1,0,1,2,... \}
$$
خوب تا اینجا فهمیدیم که مجموعه در واقع مجموعه ای از چیزها می باشد و تابع چیزی است که یک مجموعه را به مجموعۀ دیگری مرتبط می سازد. حالا بیایید ببینیم تابع دقیقاً این کار را به چه نحوی انجام می دهد. برای درک نحوۀ کارکرد تابع ابتدا بیایید این دو مجموعه را که توسط تابع به یکدیگر مرتبط می شوند را نامگذاری کنیم. مجموعۀ ورودی های تابع (input) و مجموعه مقادیر خروجی تابع (output).

ترجمۀ شکل:
$\text{input}$: ورودی
$\text{output}$: خروجی
$\text{function}$: تابع
$\text{set}$: مجموعه

حالا بیایید نگاهی دیگر به چیستی تابع بیندازیم. تابع چیزی است که هر کدام از مقادیر مجموعۀ ورودی هایش را می گیرد و آنها را به یک مقدار در مجموعۀ خروجی های تابع مرتبط می سازد.

در ریاضیات به این مجموعه های ورودی و خروجی اسامی خاص دیگری نیز داده اند. مجموعه مقادیر ورودی یک تابع را دامنه (domain) و مجموعه مقادیر خروجی تابع را بُرد (range) نیز می نامند.

به تابع به عنوان یک قانون نیز می توان نگریست. به عنوان مثال در زیر جدولی از مقادیر ورودی و خروجی یک تابع را داریم که تعداد اضلاع چندضلعی ها را بر می گرداند. ورودی این تابع نام چندضلعی و خروجی آن تعداد اضلاع آن می باشد.

ترجمۀ شکل:
$\text{triangle}$: مثلث
$\text{square}$: مربع
$\text{pentagon}$: پنج ضلعی
$\text{hexagon}$: شش ضلعی
$\text{octagon}$: هشت ضلعی

البته در ریاضی معمولاً توابع بسیار انتزاعی تر از چیزی هستند که در این مثال می بینید. به عنوان مثال تابع $y=2x$ را در نظر بگیرید. در این تابع $x$ در واقع همان مجموعۀ ورودی های تابع یا دامنه است و $y$ مجموعۀ خروجی های تابع یا همان بُرد آن است.

جدول زیر برخی مقادیر ورودی و خروجی این تابع را نشان می دهد. در واقع برای رسیدن به هر مقدار خروجی، مقدار ورودی را جایگزین $x$ می کنیم. به عنوان مثال جایگزینی های این جدول این گونه انجام می شوند:
$$
y=2x\\
y=2 \cdot 1 = 2\\
y=2 \cdot 2 = 4\\
y=2 \cdot 3 = 6
$$
به عبارت دیگر این تابع ورودی هایش را دوبرابر می کند و به عنوان خروجی باز می گرداند.

یک محدودیت بسیار مهم در توابع

یکی از قوانین بسیار مهم تابع که در واقع بخشی از تعریف آن نیز می باشد، اینست که به ازاء هر مقدار ورودی ققط و فقط باید یک مقدار خروجی داشته باشیم. برای درک بهتر این محدودیت تابع $y^2 = x$ را در نظر بگیرید. برای حل کردن این تابع باید جذر هر دو سمت معادله را بگیریم. که به $y = \pm \sqrt{x}$ می رسیم. به عنوان مثال اگر عدد $4$ را به عنوان ورودی به این تابع پاس کنیم، به دو خروجی $+2$ و $-2$ می رسیم. این یعنی $y^2 = x$ نمی تواند یک تابع باشد. چرا که در تابع این محدودیت مهم وجود دارد که به ازاء هر ورودی فقط و فقط باید یک خروجی داشته باشیم.