مانند نمونه رابطه های دیگری را بنویسید که در همۀ شکل ها برقرار باشد.






$$
\overline{AB} + \overline{AD} \gt \overline{BD} \\[2ex]
\overline{BD} - \overline{DE} = \overline{BE}
$$

پاسخ

در هر کدام از این شکل ها \(8\) مثلث وجود دارد که به شرح زیر می باشند:
$$
\begin{array}{|c|c|}
\hline
1 & \triangle{ADE}\\
\hline
2 & \triangle{ABE}\\
\hline
3 & \triangle{BEC}\\
\hline
4 & \triangle{DEC}\\
\hline
\end{array}
$$

$$
\begin{array}{|c|c|}
\hline
5 & \triangle{ADB}\\
\hline
6 & \triangle{DCB}\\
\hline
\end{array}
$$
$$
\begin{array}{|c|c|}
\hline
7 & \triangle{ADC}\\
\hline
8 & \triangle{ABC}\\
\hline
\end{array}
$$
به ازاء هر کدام از این مثلث ها می توان سه رابطه نوشت که در آن مجموع طول دو ضلع از مثلث، بزرگتر از طول ضلع سوم باشد. در ادامه چند نمونه از این رابطه ها را می نویسیم، به همین ترتیب خودتان می توانید برای تک تک این \(8\) مثلث، سه رابطه بنویسید که مجموعاً \(24\) رابطه از این جنس می شود:
$$
\triangle{ADE}:\\
\overline{AD} + \overline{AE} \gt \overline{DE}\\
\overline{AE} + \overline{DE} \gt \overline{AD}\\
\overline{AD} + \overline{DE} \gt \overline{AE}
$$
هر کدام از پاره خط های \(AC\) و \(BD\) توسط نقطۀ \(E\) به دو قسمت تقسیم شده اند. برای هر کدام از این دو پاره خط می توانیم روابطی را به شکل زیر بنویسیم:
$$
\overline{AE} + \overline{EC} = \overline{AC}\\
\overline{DE} + \overline{EB} = \overline{DB}\\
\overline{AC} - \overline{AE} = \overline{EC}\\
\overline{AC} - \overline{EC} = \overline{AE}\\
\overline{DB} - \overline{DE} = \overline{EB}\\
\overline{DB} - \overline{EB} = \overline{DE}
$$