خوش آموز درخت تو گر بار دانش بگیرد، به زیر آوری چرخ نیلوفری را


حل کردن معادلات درجه دوم با فاکتورگیری

حل کردن معادلات درجه دوم با فاکتورگیری
نویسنده : امیر انصاری
شما می توانید بسیاری از عبارات درجه دوم را فاکتور گیری کنید ـــ عبارات درجه دوم یک سمت از معادله درجه دوم می باشند ـــ طی فاکتورگیری عبارت درجه دوم به شکل حاصلضرب دو یا چند عدد، متغیر، جملات داخل پرانتز و ... بازنویسی می شود. مزیت شکل فاکتورگیری شده اینست که شما می توانید با قرار دادن عبارت فاکتورگیری شده برابر با صفر، و سپس استفاده از ویژگی ضرب صفر (که در فصل 1 در موردش صحبت کردیم)، معادله درجه دوم را حل کنید. اینکه چگونه عبارت را فاکتورگیری می کنید به تعداد جملات آن عبارت و اینکه جملات چگونه با یکدیگر در ارتباطند، بستگی دارد.



فاکتورگیری دوجمله ای ها (binomials)


شما می توانید یک دوجمله ای درجه دوم را به یکی از دو روشی که در ادامه آمده است، فاکتورگیری کنید، دوجمله ای درجه دوم شامل دو جمله می باشد که یکی از آنها به توان \(2\) رسیده باشند. البته این در صورتی است که دوجمله ای مربوطه قابل فاکتورگیری باشد، چرا که ممکن است هیچ عامل مشترکی بین جملات پیدا نکنید و دو جمله مربوطه هر دو مربع نباشند:

  • هر کدام از جملات را بر یک فاکتور مشترک تقسیم کنید.
  • اگر عبارت درجه دوم تفاضل بین دو مربع کامل باشد، آن را به شکل حاصلضرب دو دوجمله ای بنویسید.

بیرون کشیدن بزرگترین عامل مشترک


بزرگترین عامل مشترک (greatest common factor) بین دو یا چند جمله بزرگترین عدد (و ترکیب متغیر) می باشد که تمامی آن جملات بر آن بخش پذیر باشند. به عنوان مثال، برای حل کردن معادله \(4x^2+8x=0\) ، شما بزرگترین عامل مشترک را که \(4x\) می باشد، فاکتورگیری می کنید. بعد از تقسیم کردن جملات بر بزرگترین عامل مشترک به \(4x(x+2)=0\) می رسید. اکنون با استفاده از ویژگی ضرب صفر می توانید، سه حقیقت را در مورد این معادله بیان کنید:

  • \(4=0\) ، که نادرست می باشد، این یک پاسخ نیست.
  • \(x=0\)
  • \(x+2=0\) ، که بدین معناست که \(x=-2\)

شما برای معادلۀ اصلی \(4x^2+8x=0\) دو پاسخ پیدا کردید که عبارتند از : \(x=0\) یا \(x=-2\) . اگر شما \(x\) ها را با هر کدام از این پاسخها جایگزین کنید، یک گزارۀ صحیح ایجاد می شود.

در اینجا مثال دیگری با اندکی پیچش داریم: معادلۀ درجه دوم \(6y^2+18=0\) . شما می توانید با تقسیم کردن جملات این معادله بر \(6\) آن را فاکتورگیری نمایید:
$$ 6y^2+18=6(y^2+3) =0 $$
متاسفانه این شکل فاکتورگیری شده منجر به هیچ پاسخ حقیقی برای معادله نمی شود، زیرا هیچ پاسخ حقیقی وجود ندارد. با بکار بردن ویژگی ضرب صفر، ابتدا به \(6=0\) می رسید، که کمکی به شما نمی کند. با قرار دادن \(y^2+3=0\) ، شما می توانید \(3\) را از هر سمت تفریق کنید تا به \(y^2=-3\) برسید. عدد \(-3\) مثبت نمی باشد، بنابراین نمی توانید قانون ریشه مربع را بر روی آن بکار ببرید، زیرا شما به \(y=\pm \sqrt{-3}\) می رسید. مربع هیچ عدد حقیقی \(-3\) نمی شود. بنابراین شما نمی توانید از اعداد حقیقی پاسخی برای این معادله بیابید. (برای اطلاعات بیشتر در مورد پاسخ های مختلط یا موهومی، فصل 14 را ببینید.)

هشدار: هنگامی که بزرگترین عامل مشترک یک عبارت فقط \(x\) می باشد، مراقب باشید، و همواره به یاد داشته باشید که آن فاکتور ابتدایی، یعنی \(x\) را، برابر با صفر قرار بدهید تا یکی از پاسخهای مسأله را از دست ندهید. یک اشتباه رایج در جبر اینست که یک معادله کاملا زیبا همچون \(x^2+5x=0\) را بگیرید، آن را به \(x(x+5)=0\) فاکتورگیری کنید، و پاسخ را \(x=-5\) اعلام نمایید. به برخی دلایل مردم آن \(x\) تنهای قبل از پرانتز را فراموش می کنند. پاسخ \(x=0\) را فراموش نکنید!

فاکتورگیری از تفاضل بین دو مربع


یادتان باشد: اگر به یک دوجمله ای برخوردید که فکر نمی کنید مناسب قانون ریشه مربع باشد، می توانید با روش تفاضل بین دو مربع آن را فاکتورگیری نموده و با استفاده از ویژگی ضرب صفر آن را حل کنید. اگر پاسخهایی وجود داشته باشد، و شما بتوانید آن پاسخها را با قانون ریشه مربع بیابید، شما همچنین قادر خواهید بود تا با استفاده از روش تفاضل بین دو مربع نیز به آن پاسخها برسید.

این روش بیان می دارد که اگر \(x^2-a^2=0\) ، سپس \((x-a)(x+a)=0\) ، و \(x=a\) یا \(x=-a\) .
به طور کلی، اگر \(k^2x^2-a^2=0\) ، سپس \((kx-a)(kx+a)=0\) ، و \(x={a \over k}\) یا \(x=-{a \over k}\) .

به عنوان مثال، برای حل کردن \(x^2-25=0\) ، معادله را به شکل \((x-5)(x+5)=0\) فاکتورگیری می کنید، و خواهید داشت \(x=5\) یا \(x=-5\) .

هنگامی که یک ضریب مربع کامل برای متغیرتان دارید، هنوز هم می توانید با روش تفاضل بین دو مربع کامل، فاکتورگیری کنید. برای مثال، جهت حل کردن \(49y^2-64=0\) ، عبارت سمت چپ را به \((7y-8)(7y+8)=0\) فاکتورگیری می کنید، و دو پاسخ این مسأله عبارتند از \(y={8 \over 7}\) یا \(y=-{8 \over 7}\) .

فاکتورگیری سه جمله ای ها (trinomials)


مشابه دوجمله ای های درجه دوم، یک سه جمله ای درجه دوم می تواند تا دو پاسخ داشته باشد ـــ یا ممکن است یک پاسخ داشته باشد و یا حتی هیچ پاسخی نداشته باشد. اگر شما بتوانید سه جمله ای را فاکتورگیری کنید و از ویژگی ضرب صفر برای حل کردن مسأله جهت یافتن ریشه ها، استفاده کنید، موفقیت شما قطعی است، زیرا سختترین قسمتش همان فاکتورگیری می باشد. اگر سه جمله ای قابل فاکتورگیری نباشد، یا اگر شما ندانید چگونه باید آنرا فاکتورگیری کنید، می توانید از فرمول حل کردن معادلات درجه دوم (Quadratic Formula) استفاده کنید، در ادامه این فصل این فرمول را به شما آموزش خواهیم داد. در بقیه این بخش به سه جمله ایهای قابل فاکتورگیری می پردازیم.

پیدا کردن دو پاسخ در یک سه جمله ای


برای مثال، سه جمله ای \(x^2-2x-15=0\) دارای دو پاسخ می باشد. شما می توانید عبارت سمت چپ معادله را به \((x-5)(x+3)=0\) فاکتورگیری کنید و سپس هر فاکتور را برابر با صفر قرار دهید. وقتیکه \(x-5=0\) ، سپس \(x=5\) ، و وقتیکه \(x+3=0\) ، سپس \(x=-3\) . اگر چگونگی فاکتورگیری از عبارات سه جمله ای را به خاطر نمی آورید، فصل 1 را ببینید.

ممکن است فوراً آشکار نشود که چگونه باید یک عبارت ظاهراً پیچیده همچون \(24x^2+52x-112=0\) را فاکتورگیری کنید. قبل از اینکه از چتر نجات استفاده کنید و به سراغ فرمول حل کردن معادلات درجه دوم بروید، فاکتور گرفتن \(4\) از کل عبارت را در نظر بگیرید تا تصویر کمی ساده تر شود، شما به \(4(6x^2+13x-28)=0\) خواهید رسید. عبارت درجه دوم داخل پرانتز به حاصلضرب دو دوجمله ای فاکتورگیری می شود، و به شما \(4(3x-4)(2x+7)=0\) را نتیجه می دهد. با قرار دادن \(3x-4\) برابر با \(0\) ، به \(x={4\over3}\) می رسید، و با قرار دادن \(2x+7\) برابر با \(0\) ، به \(x=-{7\over2}\) می رسید. در مورد فاکتور \(4\) چطور؟ اگر \(4\) را برابر با \(0 \) قرار بدهید، به یک گزارۀ نادرست می رسید، که خوب هم هست، شما هم اکنون دو عدد دیگر دارید که معادله را به گزاره ای صحیح تبدیل می کنند.

ریشۀ مضاعف (double root) در پاسخ سه جمله ای ها


معادلۀ \(x^2-12x+36=0\) یک مربع سه جمله ای می باشد، که به سادگی تمام معنایش این می شود که پاسخ مربع یک دوجمله ای است. اختصاص دادن این نام خاص به این اشاره دارد که دو پاسخی که شما به آن می رسید، در واقع یک پاسخ مربع شده می باشد. به فاکتورگیری بنگرید: \(x^2-12x+36=(x-6)(x-6)=(x-6)^2=0\) . دو فاکتور مختلف، پاسخ یکسانی را نتیجه می دهند: \(x=6\) . یک سه جمله ای درجه دوم می تواند تا دو پاسخ یا ریشه داشته باشد. این سه جمله ای از نظر فنی دو ریشه دارد، \(6\) و \(6\) . شما می توانید بگویید این معادله دارای ریشۀ مضاعف (double root) است.

به ریشه های مضاعف در ترسیم نمودار دقت کنید، زیرا آنها در محورها به صورت متفاوت عمل می کنند. این تمایز در هنگام ترسیم نمودار هر چند جمله ای (polynomial) مهم است. نمودارهای ریشه مضاعف از محور عبور نمی کنند، فقط محور را لمس می کنند. شما در هنگام حل کردن نامساوی ها نیز این موجودیت ها را خواهید دید.

فاکتورگیری با گروه بندی


فاکتورگیری با گروه بندی یک روش عالی برای استفاده جهت بازنویسی یک معادله درجه دوم می باشد تا شما بتوانید از ویژگی ضرب صفر استفاده کنید و تمامی پاسخها را بیابید. ایده اصلی پشت روش فاکتورگیری با گروه بندی اینست که جملات را در گروه های کوچکتر که دارای فاکتور مشترکی می باشند، سازماندهی کنید. دلیل اینکه به سراغ گروه بندی های کوچکتر بدین شکل می روید اینست که نتوانسته اید برای تمامی جملات فاکتور مشترکی را به عنوان بزرگترین عامل مشترک، بیابید، با این حال، با گروه بندی جملات در گروه های دوتایی عامل مشترکی را برای اینکه فاکتورها را بر آنها تقسیم کنید، می یابید.

گروه بندی جملات در یک معادله درجه دوم


یک معادله درجه دوم همچون \(2x^2 + 8x-5x-20=0\) دارای چهار جمله می باشد. البته همانطور که احتمالاً خودتان هم متوجه شده اید، شما می توانید در اینجا دو جمله میانی را با یکدیگر ترکیب کنید، اما به منظور استفاده از فرآیند گروه بندی، آنها را به همین شکل رها کنید. این چهار جمله در معادله هیچ عامل مشترکی با هم ندارند. شما می توانید جمله اول، جمله دوم، و جمله چهارم را بر \(2\) تقسیم کنید، اما جمله سوم اجابت نمی کند. سه جمله اول، همگی فاکتوری از \(x\) دارند، اما جمله آخر ندارد. بنابراین، شما دو جمله اول را با یکدیگر گروه بندی می کنید و عامل مشترک آنها یعنی \(2x\) را بیرون می کشید. دو جمله آخر نیز دارای عامل مشترک \(-5\) می باشند. بنابراین، شکل فاکتورگیری شده کلی می شود \(2x(x+4)-5(x+4)=0\) .

شکل فاکتورگیری شدۀ جدید، دارای دو جمله می باشد. هر کدام از این جملات، فاکتور \((x+4)\) را دارند، بنابراین می توانید آن را فاکتور بگیرید. هنگامیکه اولین جمله را بر عامل مشترک تقسیم کنید، \(2x\) باقی می ماند. هنگامی که دومین جمله را تقسیم کنید، \(-5\) باقی خواهد ماند. شکل فاکتورگیری شدۀ جدید شما \((x+4)(2x-5)=0\) می باشد. اکنون می توانید هر کدام از فاکتورها را برابر با صفر قرار بدهید تا به پاسخهای \(x=-4\) و \(x={5\over2}\) برسید.

فاکتورگیری با روش گروه بندی، تنها زمانی درست کار می کند که در نتیجۀ فاکتورگیری معادله درجه دوم، شما به جملات کمتری که دارای عامل مشترکی می باشند، برسید. اگر عامل \((x+4)\) در مثال قبلی در هر دو جمله نمایان نمی شد، شما باید مسیر دیگری را انتخاب می کردید.

پیدا کردن فاکتورهای درجه دوم در گروه بندی


حل کردن معادلات درجه دوم با روش گروه بندی و فاکتورگیری، زمانی که توان معادلات بزرگتر می شود، بیشتر اهمیت می یابد. برای مثال، معادلۀ \(5x^3+x^2-45x-9=0\) ، یک معادله درجه سوم می باشد، یعنی بالاترین توان متغیرها \(3\) می باشد، بنابراین پتانسیل رسیدن به سه پاسخ متفاوت را دارد. شما نمی توانید برای هر چهار جمله فاکتور مشترکی را بیابید، بنابراین دو جمله اول را گروه بندی می کنید و عامل \(x^2\) را از آن فاکتور می گیرید، دو جمله آخر را گروه بندی می کنید و \(-9\) را از آن فاکتور می گیرید. شکل فاکتورگیری شده معادله به این شکل خواهد بود: \(x^2(5x+1)-9(5x+1)=0\) .

فاکتور مشترک دو جمله در معادله جدید \((5x+1)\) می باشد، بنابراین آن را از جملات فاکتور می گیرید تا به \((5x+1)(x^2-9)=0\) برسید. دومین فاکتور، تفاضل بین مربع ها می باشد، بنابراین می توانید معادله را به شکل \((5x+1)(x-3)(x+3)=0\) فاکتورگیری کنید. سه پاسخ این مسأله \(x=-{1\over5}\) ، \(x=3\) ، و \(x=-3\) می باشند.



نمایش دیدگاه ها (0 دیدگاه)

دیدگاه خود را ثبت کنید:

انتخاب تصویر ویرایش حذف
توجه! حداکثر حجم مجاز برای تصویر 500 کیلوبایت می باشد.