توابع معکوس مثلثاتی (Inverse Trig Functions)

یک تابع معکوس مثلثاتی، همانند هر تابع معکوس دیگری، معکوس کاری را که تابع اصلی صورت می دهد، انجام می دهد. به عنوان مثال، \(\sin 30^{\circ}=\frac{1}{2}\)، بنابراین تابع سینوس معکوس ـــ که به شکل \(\sin^{-1}\) نوشته می شود ـــ این ورودی و خروجی را با هم تعویض می کند. از اینرو، \(\sin^{-1} \frac{1}{2} = 30^{\circ}\) . برای سایر توابع مثلثاتی نیز همینگونه کار می کند.

بالانویس منفی \(1\) در تابع سینوس معکوس برابر با توان منفی \(1\) نمی باشد، حتی با وجود این حقیقت که دقیقاً شبیه آن است. اگر هر چیزی را به توان منفی \(1\) برسانید، کسرمتقابل آن را به شما نتیجه می دهد، بنابراین ممکن است با خودتان فکر کنید که \(\sin^{-1}x\) کسرمتقابل \(\sin x\) است، اما کسرمتقابل سینوس برابر با کسکانت است، و نه سینوس معکوس. اینکه برای دو چیز کاملاً متفاوت، نماد یکسانی مورد استفاده قرار گرفته است کاملاً عجیب است. خیلی احمقانه است!

تنها ترفند در مورد توابع معکوس مثلثاتی اینست که بردهای آنها را به خاطر بسپارید ـــ بُرد تابع بازۀ خروجی های تابع می باشد. به عنوان مثال، سینوس معکوس را در نظر بگیرید. از آنجا که هم \(\sin 30^{\circ}=\frac{1}{2}\) و هم \(\sin 150^{\circ}=\frac{1}{2}\)، شما نخواهید دانست که آیا \(\sin^{-1} \frac{1}{2} \) برابر با \(30^{\circ}\) است یا \(150^{\circ}\)، مگر اینکه بدانید بازۀ خروجی تابع معکوس تعریف شده است. و یادتان باشد، برای اینکه چیزی یک تابع باشد، نباید در مورد خروجی آن به ازاء یک ورودی خاص، هیچ رمز و رازی در میان باشد. اگر تابع سینوس را بر روی خط \(y=x\) بازتاب دهید تا معکوس آن را بسازید، یک موج عمودی به دست خواهید آورد که یک تابع نمی باشد، زیرا آزمون خط عمودی را پاس نمی کند. (تعریف آزمون خط عمودی را در فصل 5 ببینید.) برای اینکه سینوس معکوس یک تابع باشد، شما باید یک تکۀ کوچک از این موج عمودی را در نظر بگیرید که آزمون خط عمودی را پاس کند. چیز یکسانی در مورد سایر توابع معکوس مثلثاتی برقرار است. در اینجا بُردهای آنها را داریم:

برد \(\sin^{-1} x\) برابر با \([-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\) یا \([-90^{\circ},90^{\circ}]\) می باشد.
برد \(\cos^{-1} x\) برابر با \([0,\pi]\) یا \([0^{\circ},180^{\circ}]\) می باشد.
برد \(\tan^{-1} x\) برابر با \([-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\) یا \([-90^{\circ},90^{\circ}]\) می باشد.
برد \(\cos^{-1} x\) برابر با \([0,\pi]\) یا \([0^{\circ},180^{\circ}]\) می باشد.

به این الگو توجه کنید: برد \(\sin^{-1} x\) با برد \(\tan^{-1} x\) یکسان است، و برد \(\cos^{-1} x\) با برد \(\cot^{-1} x\) یکسان است.

باور کنید یانه، مولفان حسابان با بردهای توابع سکانت معکوس و کسکانت معکوس موافق نیستند. شما ممکن است با خودتان فکر کنید، آنها با این هم همانند سایر چیزهای دیگر ریاضی موافق خواهند بود. به هرحال، اگر در کتاب درسی شما بردی برای این دو تابع ذکر شده است از آنها استفاده کنید. اگر کتاب درسی ندارید، از برد \(\sin^{-1} x\) برای پسرعمویش \(\csc^{-1} x\) استفاده کنید، و از برد \(\cos^{-1} x\) برای \(\sec^{-1} x\) استفاده کنید. (در ضمن، توجه کنید که من به \(\csc^{-1} x\) به عنوان کسرمتقابل \(\sin^{-1} x\) اشاره نکرده ام، زیرا کسرمتقابل آن نیست ـــ حتی با این وجود که \(\csc x\) کسرمتقابل \(\sin x\) می باشد. ایضاً در مورد \(\cos^{-1} x\) و \(\sec^{-1} x\) همینطور است.)

اتحادهای مثلثاتی (Trig Identities)

آیا اتحادهای مثلثاتی همچون \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\) و \(\sin 2x=2 \sin x \cos x\) را به خاطر می آورید؟ راستش را بگویید ـــ بیشتر افراد نمی توانند آنها را بیاد بیاورند. با این وجود در حسابان بسیار سودمند هستند، برای یادآوری در این زمینه به آموزش زیر در دورۀ آموزش مثلثات مراجعه کنید: