خوش آموز درخت تو گر بار دانش بگیرد، به زیر آوری چرخ نیلوفری را
کار بر روی هر دو سمت اتحاد مثلثاتی
درست به همان اندازه که کار کردن بر روی یک سمت اتحاد جذاب می باشد، گاهی اوقات کار کردن بر روی هر دو سمت یک اتحاد سودمند و مجاز می باشد. کار کردن بر روی هر دو سمت یک اتحاد معمولاً هنگامی که روشی شفاف و مطمئن برای تغییر دادن یک سمت برای مطابقت کردن با سمت دیگر ندارید، ضرورت می یابد. من حتی در مواقعی که این کار مجاز نبوده است، مجبور شده ام که به کار کردن بر روی هر دو سمت متوسل شوم؛ کار کردن رو به سمت عقب، از یک سمت به نتایج سمت دیگر می تواند سرنخ های ارزشمندی را در ارتباط با اینکه چگونگه چیزی را حل کنید، به شما می دهد.
در یک اتحاد مثلثاتی، کار کردن بر روی هر دو سمت، با کار کردن بر روی هر دو سمت یک معادلۀ جبری، کاملاً یکسان نمی باشد. در جبر، شما می توانید هر دو سمت را در عدد یکسانی ضرب کنید، هر دو سمت را مربع سازید، چیز یکسانی را به هر دو سمت معادله بیفزایید یا از آن تفریق کنید، و به همین ترتیب. هنگامی که اتحادها و معادلات مثلثاتی را حل می کنید (فصل 17 را ببینید)، شما می توانید از تمامی آن قوانین جبری استفاده کنید، بعلاوۀ اینکه می توانید هر جا که لازم باشد با اتحادهای مثلثاتی گوناگون، جایگزینی را انجام بدهید. شما حتی می توانید یک اتحاد متفاوت را در هر سمت درج کنید ـــ یک مزیت بزرگ از کار کردن بر روی اتحادهای مثلثاتی همین است.
اولین مثال نسبتاً آسان می باشد، اما این مفهوم را می رساند. اتحاد زیر را با کار کردن بر روی هر دو سمت آن، حل کنید:
$$\frac{\sin \theta}{\csc \theta} + \frac{\cos \theta}{\sec \theta}= \tan \theta \cot \theta$$
در مثال بعدی، شما همه چیز را به سینوس ها و کسینوس ها تبدیل می کنید. اتحاد زیر را اثبات کنید:
$$\frac{\csc x}{\cos x} = \cot x + \tan x$$
این مثال آخر نیاز به اندکی خلاقیت دارد. اما کار کردن بر روی هر دو سمت هنوز هم بهتر جواب می دهد. اتحاد زیر را حل کنید:
$$\frac{1+\cot \alpha}{\cot \alpha} = \tan \alpha + \csc^2 \alpha - \cot^2 \alpha$$
در یک اتحاد مثلثاتی، کار کردن بر روی هر دو سمت، با کار کردن بر روی هر دو سمت یک معادلۀ جبری، کاملاً یکسان نمی باشد. در جبر، شما می توانید هر دو سمت را در عدد یکسانی ضرب کنید، هر دو سمت را مربع سازید، چیز یکسانی را به هر دو سمت معادله بیفزایید یا از آن تفریق کنید، و به همین ترتیب. هنگامی که اتحادها و معادلات مثلثاتی را حل می کنید (فصل 17 را ببینید)، شما می توانید از تمامی آن قوانین جبری استفاده کنید، بعلاوۀ اینکه می توانید هر جا که لازم باشد با اتحادهای مثلثاتی گوناگون، جایگزینی را انجام بدهید. شما حتی می توانید یک اتحاد متفاوت را در هر سمت درج کنید ـــ یک مزیت بزرگ از کار کردن بر روی اتحادهای مثلثاتی همین است.
اولین مثال نسبتاً آسان می باشد، اما این مفهوم را می رساند. اتحاد زیر را با کار کردن بر روی هر دو سمت آن، حل کنید:
$$\frac{\sin \theta}{\csc \theta} + \frac{\cos \theta}{\sec \theta}= \tan \theta \cot \theta$$
-
دو مخرج این کسرها را با اتحادهای معکوسشان جایگزین کنید و همچنین، کتانژانت در سمت راست را نیز با معکوسش جایگزین کنید.
$$\frac{\sin \theta}{\frac{1}{\sin \theta}} + \frac{\cos \theta}{\frac{1}{\cos \theta}} = \tan \theta \biggl( \frac{1}{\tan \theta} \biggr)$$
-
دو کسر سمت چپ را با معکوس کردن مخرج کسرها و ضرب آنها در صورتشان، ساده سازی کنید. سپس دو فاکتور موجود در سمت راست را در یکدیگر ضرب کنید.
$$
\sin \theta \cdot \frac{\sin \theta}{1} + \cos \theta \cdot \frac{\cos \theta}{1} = 1 \\
\frac{\sin \theta}{1} \cdot \frac{\sin \theta}{1} + \frac{\cos \theta}{1} \cdot \frac{\cos \theta}{1} = 1 \\
\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1
$$
-
جمع سمت چپ را با استفاده از اتحاد فیثاغورثی جایگزین کنید.
به نتیجۀ \(1=1\) می رسید.
در مثال بعدی، شما همه چیز را به سینوس ها و کسینوس ها تبدیل می کنید. اتحاد زیر را اثبات کنید:
$$\frac{\csc x}{\cos x} = \cot x + \tan x$$
-
این توابع را با استفاده از اتحادهای معکوس و نسبت به معادل آنها تبدیل کنید.
$$\frac{\frac{1}{\sin x}}{\cos x} = \frac{\cos x}{\sin x} + \frac{\sin x}{\cos x}$$
-
در سمت چپ، مخرج را به شکل یک کسر بنویسید، سپس آن را سر و ته کنید و در صورت ضرب کنید. در سمت راست، هر کسر را در کسری معادل با \(1\) ضرب کنید (این کسر معادل \(1\) با استفاده از مخرج کسر دیگر ساخته می شود) تا برای همۀ کسرها به مخرجی مشترک برسید.
$$
\frac{\frac{1}{\sin x}}{\frac{\cos x}{1}} = \frac{\cos x}{\sin x} + \frac{\sin x}{\cos x} \\
\frac{1}{\sin x} \cdot \frac{1}{\cos x} = \frac{\cos x}{\sin x} \cdot \frac{\cos x}{\cos x} + \frac{\sin x}{\cos x} \cdot \frac{\sin x}{\sin x}
$$
-
کسرهای ضرب شده در یکدیگر را ساده سازی کنید. دو کسر موجود در سمت راست را با یکدیگر جمع بزنید.
$$
\frac{1}{\sin x \cos x} = \frac{\cos^2 x}{\sin x \cos x} + \frac{\sin^2 x}{\sin x \cos x} \\
=\frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\sin x \cos x}
$$
-
صورت کسر در سمت راست را با استفاده از اتحاد فیثاغورثی جایگزین کنید.
$$\frac{1}{\sin x \cos x} = \frac{1}{\sin x \cos x}$$
این مثال آخر نیاز به اندکی خلاقیت دارد. اما کار کردن بر روی هر دو سمت هنوز هم بهتر جواب می دهد. اتحاد زیر را حل کنید:
$$\frac{1+\cot \alpha}{\cot \alpha} = \tan \alpha + \csc^2 \alpha - \cot^2 \alpha$$
-
کسر سمت چپ را با نوشتن هر جمله در صورت کسر، بر روی مخرج کسر، از یکدیگر جدا کنید.
$$\frac{1}{\cot \alpha} + \frac{\cot \alpha}{\cot \alpha} = \tan \alpha+ \csc^2 \alpha - \cot^2 \alpha $$
-
کسر دوم را به \(1\) کاهش دهید.
$$\frac{1}{\cot \alpha} + 1 = \tan \alpha+ \csc^2 \alpha - \cot^2 \alpha $$
-
اکنون \(\csc^2 \alpha\) در سمت راست را با استفاده از اتحاد فیثاغورثی، با معادلش جایگزین کنید.
$$\frac{1}{\cot \alpha} + 1 = \tan \alpha+ (1+\cot^2 \alpha) - \cot^2 \alpha $$
-
جملات سمت راست را بعد از حذف کردن پرانتزهای داخل آن، ساده سازی کنید ـــ دو تا از این جملات، قرینۀ یکدیگر می باشند.
$$
\require{cancel}
\frac{1}{\cot \alpha} + 1 = \tan \alpha+ 1+ \cancel{\cot^2 \alpha} - \cancel{\cot^2 \alpha} \\
=\tan \alpha + 1
$$
-
کسر سمت راست را با استفاده از اتحاد معکوس جایگزین کنید.
$$\tan \alpha + 1 =\tan \alpha + 1 $$
لیست دوره های آموزش ریاضی در سایت خوش آموز
برای مشاهدۀ همۀ دوره های ریاضی اینجا کلیک کنید.
- دوره آموزشی رایگان ریاضی پایه و پیش جبر
- تمرینات دوره آموزشی ریاضی پایه و پیش جبر
- دوره آموزشی رایگان جبر 1
- دوره آموزشی رایگان جبر 2
- دوره آموزشی رایگان هندسه
- دوره آموزشی رایگان مثلثات
- دوره آموزشی رایگان پیش حسابان 1
- دوره آموزشی رایگان حسابان 1
- آموزش رایگان حسابان پیشرفته
برای مشاهدۀ همۀ دوره های ریاضی اینجا کلیک کنید.
نمایش دیدگاه ها (0 دیدگاه)
دیدگاه خود را ثبت کنید: