اثبات یک اتحاد مثلثاتی می تواند یک کار عادی ساده، یا یک چالش جدی باشد. چیز خوب در مورد یک اتحاد اینست که شما می دانید که می تواند اثبات شود. برخی از اتحادها به نظر می رسد که خودشان روش حلشان را فریاد می زنند: "منو ببین! به اون سه جملۀ سمت چپ که التماس می کنند ما را با هم ترکیب کن، توجه کن!" اتحادهای دیگری هم هستند که فقط آنجا نشسته اند ـــ منتظر یک عکس العمل شجاعانه از سمت شما هستند.





در این فصل، شما تکنیکها و پیشنهادات بیشتری را برای مدیریت اتحادها خواهید یافت. شما همواره می خواهید تا ساده ترین روش را بیابید، البته اگر در آنجا روش ساده ای باشد. اگر راه آسان به نتیجه نینجامد، سپس وارد مسیرهای سختتر و مانورهای مختلف مثلثاتی می گردید.

شکستن کسرها

اتحادهای نسبت و معکوس، شامل کسرها می باشند. اتحادهای نصف زاویه از کسرها استفاده می کنند. شما نمی توانید از شر آنها خلاص شوید. در واقع، یک اتحاد دارای کسرها می تواند به نفع شما تمام شود. شما به سمت خلاص شدن از کسرها پیش می روید و در این فرآیند، مسأله را حل می کنید. برخی از تکنیک های اصلی برای کار کردن با کسرها در اتحادها عبارت از شکستن آنها به جملات جداگانه، یا پیش رفتن در سمت دیگر و یافتن یک مخرج مشترک می باشد. شما می توانید مثالهایی از چگونگی یافتن مخرج مشترک را در فصل 13 بیابید ـــ و حتی مثالهایی بیشتر در این فصل.

شکستن کسرها کار سختی نیست

شکستن کسرها آنقدرها هم کار سختی نیست. در واقع، هنگامی که بتوانید آن کار را انجام دهید، شکستن کسرها یکی از پربارترین روش ها برای حل کردن اتحادها می باشد. ترفند کار اینست که آنها را بدرستی بشکنید. شما می توانید یک کسر که دارای چندین جمله در صورت آن و یک جمله در مخرج آن می باشد بشکنید ـــ اما معکوس این حالت شدنی نیست.
روش صحیح شکستن کسرها:
$$\frac{1+a-b}{7} = \frac{1}{7} + \frac{a}{7} - \frac{b}{7}$$
روش نادرست شکستن کسرها:
$$\frac{3+a-z}{2+b+c} \ne \frac{3}{2}+\frac{a}{b} - \frac{z}{c}$$
اکنون این شکستن کسرها را بر روی یک اتحاد مثلثاتی بکار بگیرید. در مثال اول، کسر سمت چپ فقط یک جمله در مخرجش دارد. اتحاد زیر را حل کنید:
$$\frac{\sin x+\cot x}{\cos x} = \tan x + \csc x$$
از آنجا که شما دو جمله در سمت راست می بینید، این سرنخ را در اختیار دارید که شکستن کسرها درست کار خواهد کرد. شما می خواهید که در سمت چپ نیز دو جمله داشته باشید.

1. این کسر را با نوشتن هر جمله از صورت کسر بر روی مخرج آن بشکنید. $$\frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cot x}{\cos x} = \tan x + \csc x$$
   
2. با استفاده از اتحاد نسبت \(\cot x\) را بازنویسی کنید. $$\frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\frac{\cos x}{\sin x}}{\cos x} = \tan x + \csc x$$
   
3. این کسر مرکب را با وارون کردن مخرج آن و ضرب کردنش در صورت کسر، ساده کنید. سپس نتیجه را کاهش دهید. $$
   \require{cancel}
   \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cancel{\cos x}}{\sin x} \cdot \frac{1}{\cancel{\cos x}} = \tan x + \csc x \\
   \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{1}{\sin x} = \tan x + \csc x
   $$
   
4. اولین کسر را با استفاده از اتحاد نسبت برای تانژانت، و دومین کسر را با استفاده از اتحاد معکوس برای کسکانت، جایگزین کنید. $$\tan x + \csc x = \tan x + \csc x$$
   

مثال بعدی سرنخی در مورد مطابقت دادن تعداد جملات در هر سمت به شما نمی دهد. در حال حاضر هر دو سمت دارای تعداد جملات یکسانی می باشند. چیزی که توجه شما را جلب می کند امکان فاکتورگیری در صورتی که سمت چپ به شکل دو کسر نوشته شود، می باشد. شما می توانید کسرهایی که بیش از یک فاکتور در مخرج دارند (اما فقط یک جمله دارند) را با حمل کردن هر دوی آنها در کنار یکدیگر بشکنید. به عنوان مثال، اتحاد زیر را حل کنید:
$$\frac{\cot x - \cos x}{\cot x \cos x} = \frac{1-\sin x}{\cos x}$$

1. کسر سمت چپ را با نوشتن هر جمله از صورت کسر بر روی کل مخرج، بشکنید. $$\frac{\cot x}{\cot x \cos x} - \frac{\cos x}{\cot x \cos x} = \frac{1-\sin x}{\cos x}$$
   
2. کسرهای سمت چپ را کاهش دهید. $$
   \require{cancel}
   \frac{\cancel{\cot x}}{\cancel{\cot x} \cos x} - \frac{\cancel{\cos x}}{\cot x \cancel{\cos x}} = \frac{1-\sin x}{\cos x} \\
   \frac{1}{\cos x} - \frac{1}{\cot x} = \frac{1-\sin x}{\cos x}
   $$
   
3. با استفاده از اتحاد نسبت، \(\cot x\) در مخرج کسر دوم را بازنویسی کنید. سپس این کسر مرکب بدست آمده را با وارون کردن مخرجش و ضرب آن در صورت کسر، ساده کنید. $$
   \frac{1}{\cos x} - \frac{1}{\frac{\cos x}{\sin x}} = \frac{1-\sin x}{\cos x} \\
   \frac{1}{\cos x} - 1 (\frac{\sin x}{\cos x}) = \frac{1-\sin x}{\cos x}
   $$
   
4. دو کسر موجود در سمت چپ، هم اکنون دارای مخرجی مشترک می باشند. سمت چپ را به شکل یک کسر واحد بازنویسی کنید. (چیزی که شکسته شده بود اکنون دوباره متصل می شود.) $$\frac{1-\sin x}{\cos x} = \frac{1-\sin x}{\cos x} $$
   

مثال بعدی اثباتی را به شما نشان می دهد که در آن بعد از درگیر کردن اتحادهای فیثاغورثی یک کسر شکسته می شود. اتحاد زیر را اثبات کنید:
$$\frac{1+\cos x(\sin x - \cos x)}{\sin x} = \sin x + \cos x$$

1. ابتدا \(\cos x\) در صورت کسر را بر روی دوجمله ای داخل پرانتز توزیع کنید. $$\frac{1+\cos x \sin x-\cos^2 x}{\sin x} = \sin x + \cos x$$
   
2. جملات را به نحوی گروه بندی کنید که \(1 - \cos^2 x\) با یکدیگر ظاهر شوند، سپس از یک اتحاد فیثاغورثی برای جایگزینی آن استفاده کنید. $$
   \frac{1-\cos^2 x+\cos x \sin x}{\sin x} = \sin x+\cos x \\
   \frac{\sin^2 x+\cos x \sin x}{\sin x} = \sin x+\cos x
   $$
   
3. کسر موجود در سمت چپ اتحاد را به دو کسر بشکنید، هر جمله را بر روی مخرج بنویسید. $$\frac{\sin^2 x}{\sin x} + \frac{\cos x \sin x}{\sin x} = \sin x \cos x$$
   
4. این کسرها را کاهش دهید. $$
   \require{cancel}
   \frac{\sin^{\cancel{2}} x}{\cancel{\sin x}} + \frac{\cos x \cancel{\sin x}}{\cancel{\sin x}} = \sin x + \cos x \\
   \sin x + \cos x = \sin x + \cos x
   $$
   

یافتن یک مخرج مشترک

کسرها دوستان شما هستند. شما ممکن است این را غیرباور تصور کنید، اما هر چه با توابع مثلثاتی بیشتر کار کنید، بیشتر به سمت نحوۀ تفکر من متمایل می شوید. یافتن یک مخرج مشترک برای ترکیب کسرها معمولاً حل کردن یک اتحاد را تسهیل می کند.

در اتحاد \(\frac{1-\sin \theta}{\cos \theta} - \frac{\cos \theta}{1+\sin \theta} =0\) ، دو مخرج موجود در سمت چپ، هیچ چیز مشترکی ندارند، بنابراین شما هر کسر را در مخرج کسر دیگر ضرب می کنید.

1. هر کسر در سمت چپ را در معادلی از \(1\) ضرب کنید تا یک مخرج مشترک بسازید. $$\frac{1-\sin \theta}{\cos \theta} \cdot \frac{1+\sin \theta}{1+\sin \theta} - \frac{\cos \theta}{1+\sin \theta} \cdot \frac{\cos \theta}{\cos \theta} = 0$$
   
2. کسرها را در یکدیگر ضرب کنید و صورتها را ساده سازی کنید. مخرج ها را به همین شکل رها کنید. $$
   \frac{(1-\sin \theta)(1+\sin \theta)}{\cos \theta(1+\sin \theta)} - \frac{\cos \theta \cos \theta}{\cos \theta(1+\sin \theta)} = 0 \\
   \frac{1-\sin^2 \theta}{\cos \theta(1+\sin \theta)} - \frac{\cos^2 \theta}{\cos \theta(1+\sin \theta)}=0
   $$
   
3. با استفاده از اتحاد فیثاغورثی، صورت کسر اول را با معادل آن جایگزین کنید.
   این کسرها قرینۀ یکدیکر می باشند.
   $$
   \frac{\cos^2 \theta}{\cos \theta(1+\sin \theta)} - \frac{\cos^2 \theta}{\cos \theta(1+\sin \theta)} = 0 \\
   0 = 0
   $$
   

در فصل 13 من یک مسأله را با استفاده از روش تبدیل به سینوس ها و کسینوس ها حل کردم و اشاره کردم که شما گزینۀ دیگری هم دارید ـــ آن گزینۀ دیگر همین یافتن مخرج مشترک می باشد. شما باید تصمیم بگیرید کدام روش به نظرتان بهتر است. شما ممکن است قادر باشید تا روش ساده تری برای انجام این اثبات بیابید. بفرمایید!

اتحاد زیر را با یافتن یک مخرج مشترک اثبات کنید:
$$\frac{1+\sec x}{\tan x} - \frac{\tan x}{\sec x} = \cot x(1+\cos x)$$
شما می توانید ببینید که چرا گزینۀ تغییر دادن به سینوس ها و کسینوس ها ممکن است انتخاب اول شما باشد.

1. هر کسر در سمت راست را در معادلی از \(1\) ضرب کنید، و یک مخرج مشترک بسازید. $$\frac{1+\sec x}{\tan x} \cdot \frac{\sec x}{\sec x} - \frac{\tan x}{\sec x} \cdot \frac{\tan x}{\tan x} = \cot x(1+\cos x)$$
   
2. صورت کسرها را با ضرب کردن کسرها ساده کنید. $$\frac{\sec x+ \sec^2 x}{\tan x \sec x} - \frac{\tan^2 x}{\tan x \sec x}=\cot x(1+\cos x)$$
   
3. با استفاده از اتحاد فیثاغورثی، \(\tan^2 x\) در کسر دوم را با معادلش جایگزین کنید؛ سپس دو صورت را با یکدیگر ترکیب کنید. $$
   \frac{\sec x + \sec ^2 x}{\tan x \sec x} - \frac{\sec^2 x-1}{\tan x \sec x} = \cot x(1+\cos x) \\
   \frac{\sec x+ \sec^2 x-\sec^2 x + 1}{\tan x \sec x} = \cot x(1+\cos x)
   $$
   
4. صورت کسر را ساده کنید، سپس سمت چپ را به شکل حاصلضرب دو کسر بازنویسی کنید. $$
   \require{cancel}
   \frac{\sec x+\cancel{\sec^2 x}-\cancel{\sec^2 x}+1}{\tan x \sec x} = \cot x(1+\cos x) \\
   \frac{\sec x+1}{\tan x \sec x} = \cot x(1+\cos x) \\
   \frac{1}{\tan x} \cdot \frac{\sec x+1}{\sec x} = \cot x(1+\cos x)
   $$
   توجه داشته باشید که این بازنویسی به شکل حاصلضرب دو کسر همان شکستن کسرها نمی باشد ـــ شما هنوز هم فقط یک جمله دارید.
   
   
5. آن را در \(\cos x\) بر روی \(\cos x\) ، که معادل \(1\) می باشد، ضرب کنید.
   شما تنها نیاز دارید تا یک فاکتور در صورت کسر و یک فاکتور در مخرج کسر را در \(\cos x\) ضرب کنید. شما به وضوح فاکتورهایی را با \(\sec x\) در آن انتخاب کرده اید.
   $$
   \frac{1}{\tan x} \cdot \frac{\sec x+1}{\sec x} \cdot \frac{\cos x}{\cos x} = \cot x(1+\cos x) \\
   \frac{1}{\tan x}(\frac{\sec x+1}{\sec x} \cdot \frac{\cos x}{\cos x}) = \cot x(1+\cos x)
   $$
   
6. کسر دوم را با توزیع کردن، ضرب کنید. $$\frac{1}{\tan x} (\frac{\sec x \cos x+1 \cdot \cos x}{\sec x \cos x}) = \cot x(1+\cos x)$$
   
7. از آنجا که \(\sec x\) و \(\cos x\) معکوس یکدیگر می باشند، حاصلضرب آنها برابر با \(1\) می شود؛ هم در صورت و هم در مخرج کسر، \(1\) را جایگزین \(\sec x \cos x\) کنید. $$\frac{1}{\tan x}(\frac{1+\cos x}{1}) = \cot x (1+\cos x)$$
   
8. معکوس \(\tan x\) را با \(\cot x\) جایگزین کنید. $$\cot x(1+\cos x) = \cot x(1+\cos x)$$