تمرین 27: معادلات رادیکال، آزمایشگاه کوچک

یک رادیکال مسلسل (continued radical) مجموعه ای از رادیکال های تو در تو می باشد که می توانند نامتتاهی باشند اما یک نتیجۀ گویای متناهی دارند. رادیکال مسلسل زیر را در نظر بگیرید:

$$
\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\text{...}}}}}
$$

مرحلۀ 1: با استفاده از ماشین حساب یا یک نرم افزار صفحه گسترده، برای عبارت های موجود در جدول زیر یک تقریب اعشاری تعیین کنید.

$\text{Number of Nested Radicals}$: تعداد رادیکال های تو در تو
$\text{Expression}$: عبارت
$\text{Decimal Approximation}$: تقریب اعشاری
مرحلۀ 2: از روی جدولتان؛ مقدار عبارت زیر را پیش بینی کنید.
$$
\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\text{...}}}}}
$$
مرحلۀ 3: فرض کنید $x = \sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\text{...}}}}}$ .
این معادله را به صورت جبری حل کنید.
مرحلۀ 4: نتایجی را که بدست آورده اید با یک همکلاسی بررسی کنید. چرا یکی از ریشه ها باید رد شود؟
مرحلۀ 5: عبارت رادیکال مسلسل دیگری را تولید کنید که نتیجۀ آن یک پاسخ عدد حقیقیِ متناهی باشد. آیا پاسخ شما دارای یک ریشۀ گویا است یا دارای یک ریشۀ گنگ است؟
مرحلۀ 6: عبارت رادیکالتان در مرحلۀ $5$ را با یک همکلاسی تعویض کنید و مسألۀ او را حل کنید.

پاسخ

جدول زیر تعداد رادیکال های تو در تو، عبارات، و تقریب اعشاری آنها ار نشان می دهد.
$3$
$$
x = \sqrt{6+x}, x \ge -6\\
x^2 = \bigl( \sqrt{6+x} \bigr)^2\\
x^2 = 6+x\\
x^2 - x -6 = 0\\
(x-3)(x+2)=0\\
x=3, x=-2
$$
از آنجا که $x=-2$ یک ریشۀ اضافی می باشد، پاسخ $x=3$ می باشد.
$$
\sqrt{12+\sqrt{12+\sqrt{12+\sqrt{12+\text{...}}}}} = 4
$$
$$
x = \sqrt{12+x} , x \ge -12\\
x^2 = \bigl( \sqrt{12+x} \bigr)^2\\
x^2 = 12 + x\\
x^2 -x - 12 = 0\\
(x-4)(x+3)=0\\
x=4,x=-3
$$
از آنجا که $x=-3$ یک ریشۀ اضافی است، پاسخ $x=4$ است.