معادلۀ زیر برای تعیین نرخ رشد سالیانۀ جمعیت گوزن های شمالی، \(r\)، در پارک استانیِ وِلز گِرِی (Wells Gray Provincial Park) در ایالت بریتیش کلمبیا (British Columbia) در طول یک دورۀ سه ساله کاربرد دارد.





$$
r=-1 + \sqrt[3]{\frac{P_f}{P_i}}, P_f \ge 0, P_i \gt 0
$$
در این معادله، \(P_f\) نشان دهندۀ جمعیت آغازین در \(5\) سال قبل و \(P_f\) نشان دهندۀ جمعیت پایانی بعد از \(3\) سال می باشد.

1. اگر \(P_i = 320\) و \(P_f = 390\) باشند، نرخ رشد سالیانه چقدر می باشد؟ پاسختان را به شکل درصدی به نزدیکترین دهم بیان کنید.
   
2. با منزوی کردن \(P_f\)، این معادله را بازنویسی کنید.
   
3. در طول این سه سال، چهار جمعیت از این گوزن های شمالی را تعیین کنید.
   
4. مجموعه جمعیت های موجود در بخش c، چه نوع دنباله ای را نشان می دهد؟
   

پاسخ

1. $$
   r=-1 + \sqrt[3]{\frac{P_f}{P_i}} \\
   r=-1 + \sqrt[3]{\frac{\color{red}{390}}{\color{red}{320}}} \\
   r = 0.068...
   $$
   نرخ رشد سالیانه به نزدیکترین دهم درصد، برابر با \(6.8 \%\) می باشد.
   
   
2. $$
   r=-1 + \sqrt[3]{\frac{P_f}{P_i}} \\
   r + 1= \sqrt[3]{\frac{P_f}{P_i}} \\
   (r + 1)^3= \biggl( \sqrt[3]{\frac{P_f}{P_i}} \biggr)^3 \\
   (r+3)^3 = \frac{P_f}{P_i}\\
   P_i(r+1)^3 = P_f
   $$
   
3. جمعیت آغازین این گوزن های شمالی برابر با \(320\) گوزن می باشد. بعد از \(1\) سال، جمعیت آنها با توجه به نرخ رشد محاسبه شده در مرحلۀ a برابر با \(320(1.068) \approx 342\) می باشد. بعد از \(2\) سال، جمعیت این گوزن ها برابر با \(320(1.068)^2 \approx 365\) و بعد از \(3\) سال برابر با \(320(1.068)^3 \approx 390\) می باشد.
   
   
4. مجموعۀ نشان دهندۀ جمعیت این گوزن ها یک دنبالۀ هندسی می باشد. قدر نسبت این دنبالۀ هندسی \(r=1.068...\) است.