نویسنده : امیر انصاری

1. $$
   \frac{2x}{xy} + \frac{4}{x^2} - 3, x \ne 0, y \ne 0
   $$
   
2. $$
   \frac{y^2 - 20}{y^2 - 4} + \frac{y-2}{y+2}, y \ne \pm 2
   $$
   
3. $$
   \frac{1+\frac{1}{x}}{x-\frac{1}{x}}, x \ne 0, x \ne \pm 1
   $$
   

پاسخ

1. ک.م.م (LCD) برابر با \(x^2y\) می باشد. هر کدام از جملات را به شکل عبارت گویایی معادل آن با این مخرج بنویسید.
   $$
   \frac{2x}{xy} + \frac{4}{x^2} - 3 = \frac{2x(x)}{xy(x)} + \frac{4(y)}{x^2(y)} - \frac{3(x^2y)}{x^2y}\\
   = \frac{2x^2}{x^2y}- \frac{3x^2 y}{x^2 y}\\
   = \frac{2x^2+4y-3x^2 y}{x^2 y}
   $$
   
2. مخرج اول را فاکتورگیری کنید و سپس هر عبارت گویا را به شکل عبارتی گویا معادل آن با مخرج مشترک \((y-2)(y+2)\) بنویسید.
   $$
   \frac{y^2 - 20}{y^2 - 4} + \frac{y-2}{y+2}\\
   = \frac{y^2 - 20}{(y-2)(y+2)} + \frac{(y-2)}{(y+2)}\\
   = \frac{y^2 - 20 }{(y-2)(y+2)} + \frac{(y-2)(y-2)}{(y-2)(y+2)}\\
   = \frac{y^2 - 20+(y-2)(y-2)}{(y-2)(y+2)}\\
   = \frac{y^2 - 20+ (y^2 - 4y+ 4)}{(y-2)(y+2)}\\
   = \frac{y^2 - 20 + y^2 - 4y + 4}{(y-2)(y+2)}\\
   = \frac{2y^2 - 4y - 16}{(y-2)(y+2)}\\
   = \frac{2(y-4)(y+2)}{(y-2)(y+2)}\\
   = \frac{2(y-4)}{y-2}
   $$
   
3. $$
   \frac{1+\frac{1}{x}}{x-\frac{1}{x}} = \frac{\frac{x+1}{x}}{\frac{x^2 - 1}{x}}\\
   = \frac{x+1}{x} \div \frac{x^2 - 1}{x}\\
   = \frac{x+1}{x^2 - 1}\\
   = \frac{x+1}{(x-1)(x+1)}\\
   = \frac{1}{x-1}
   $$
   

حالا نوبت شماست

1. $$
   \frac{4}{p^2 - 1} + \frac{3}{p+1}
   $$
   
2. $$
   \frac{x-1}{x^2 + x - 6} - \frac{x-2}{x^2 + 4x + 3}
   $$
   
3. $$
   \frac{2-\frac{4}{y}}{y-\frac{4}{y}}
   $$