شکل های زیر با چوب کبریت و با الگویی مشخص ساخته شده اند. شکل \(n\)ام با چند چوب کبریت ساخته می شود؟





در اینجا پاسخ چهار دانش آموز را می بینید. توضیح دهید هر کدام از آنها پاسخ خود را چگونه به دست آورده است؛ سپس مانند نمونه ها، شکل هایی رسم کنید که روش ماهنوش را مشخص کند و بین شکل ها و عبارت های جبری رابطه برقرار کنید.

پاسخ های ماهنوش، ماهرو و مهتاب را ساده کنید. آیا با پاسخ ماهرخ یکی هستند؟
آیا شما هم روشی برای شمارش چوب کبریت ها و یافتن جملۀ \(n\)ام دارید؟

پاسخ

شکل های زیر با چوب کبریت و با الگویی مشخص ساخته شده اند. شکل \(n\)ام با چند چوب کبریت ساخته می شود؟
ابتدا مجموعۀ اعداد را می نویسیم و سعی می کنیم تا الگویی بین اعداد متوالی بیابیم.
$$
4,7,10
$$
همانطور که در این مجموعۀ اعداد مشاهده می شود، عدد اول با \(4\) آغاز می شود و بقیۀ اعداد بعد از آن با افزودن \(3\) عدد به عدد قبلی ایجاد می گردند. سعی می کنیم این موضوع را به فرمول در آوریم:
$$
3(n-1)+4
$$
بیایید الگوی بدست آمده را آزمایش کنید تا ببینیم آیا به اعداد مورد نظر می رسیم یا خیر:
$$
3(n-1)+4\\
3(1-1)+4=3(0)+4=0+4=4\\
3(2-1)+4=3(1)+4=3+4=7\\
3(3-1)+4=3(2)+4=6+4=10
$$
نتیجه می گیریم فرمول ما درست کار می کند.
نکته: همیشه سعی کنید بعد از اینکه به فرمول صحیحی رسیدید، آن را تا حد امکان ساده کنید، در اینجا ما می توانیم فرمولی را که بدست آورده ایم به شکل زیر ساده کنیم.
$$
3(n-1)+4=3n-3+4=3n+1
$$
در واقع فرمول نهایی ما \(3n+1\) می باشد.

در اینجا پاسخ چهار دانش آموز را می بینید. توضیح دهید هر کدام از آنها پاسخ خود را چگونه به دست آورده است؛
هر کدام از این دانش آموزان سعی کرده است که با قرار دادن \(n\) در یک عبارت جبری، فرمولی را برای الگوی اعداد ایجاد کند. پاسخ همۀ دانش آموزان یک چیز هستند، برای اینکه متوجه یکسان بودن پاسخ ها شویم، عبارات جبری هر کدام از این دانش آموزان را ساده می کنیم.
$$
3n+1=3n+1\\
4+(n-1)\times 3 = 4 + 3n -3 = 3n +1\\
1+n+n+n=1+3n=3n+1\\
n+1 + (n \times 2) = n+1+2n=3n+1
$$
سپس مانند نمونه ها، شکل هایی رسم کنید که روش ماهنوش را مشخص کند و بین شکل ها و عبارت های جبری رابطه برقرار کنید.
پاسخ ماهنوش \(4+(n-1) \times 3\) می باشد. شکل زیر پاسخ ماهنوش را به تصویر می کشد.
$$
4+(n-1)\times 3\\
4+(1-1) \times 3 = 4 + (0) \times 3 =4+0=4\\
4+(2-1) \times 3 = 4 + (1) \times 3 =4+3=7\\
4+(3-1) \times 3 = 4 + (2) \times 3 =4+6=10
$$

پاسخ های ماهنوش، ماهرو و مهتاب را ساده کنید. آیا با پاسخ ماهرخ یکی هستند؟
بله، همانطور که پیشتر مشاهده کردید، پاسخ های این دانش آموزان را ساده کردیم و دیدیم که همۀ پاسخ ها یکی هستند.

آیا شما هم روشی برای شمارش چوب کبریت ها و یافتن جملۀ \(n\)ام دارید؟
بله، فرمول \(3(n-1)+4\) را ما ارائه دادیم.