مقادیر دقیق نسبتهای سینوس، کسینوس، و تانژانت را برای هر کدام از زوایای زیر بیابید.

پاسخ

برای بدست آوردن نسبتهای مثلثاتی ابتدا زاویۀ مرجع را محاسبه می کنیم و سپس نسبتهای مثلثاتی را برای زاویۀ مرجع بدست می آوریم. هنگامی که صحبت از مقادیر دقیق برای نسبتهای مثلثاتی می شود مثلث های خاص \(45^{\circ}\text{-}45^{\circ}\text{-}90^{\circ}\) و \(30^{\circ}\text{-}60^{\circ}\text{-}90^{\circ}\) وارد صحنه می شوند. مقادیر نسبت های مثلثاتی زاویۀ مرجع با مقادیر نسبتهای مثلثاتیِ زاویۀ مورد اشاره یکسان می باشند و فقط علامت های آنها با توجه به ربع صفحه ای که بازوی نهایی زاویه در آن قرار گرفته است متفاوتند.

1. $$
   \theta_R = \theta = 60^{\circ}\\
   \sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}\\
   \cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}\\
   \tan 60^{\circ} =\sqrt{3}
   $$
   
2. $$
   \theta_R = \theta - 180^{\circ} = 225^{\circ} - 180^{\circ} = 45^{\circ}\\
   \sin 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}\\
   \cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}\\
   \tan 45^{\circ} = 1\\
   \sin 225^{\circ} = -\frac{1}{\sqrt{2}}\\
   \cos 225^{\circ} = -\frac{1}{\sqrt{2}}\\
   \tan 225^{\circ} = 1
   $$
   
3. $$
   \theta_R = 180^{\circ} - \theta = 180^{\circ} - 150^{\circ} = 30^{\circ}\\
   \sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}\\
   \cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}\\
   \tan 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}}\\
   \sin 150^{\circ} = \frac{1}{2}\\
   \cos 150^{\circ} = -\frac{\sqrt{3}}{2}\\
   \tan 150^{\circ} = -\frac{1}{\sqrt{3}}
   $$
   
4. ماجرای زاویۀ \(90^{\circ}\) که یک زاویۀ قائمه می باشد با سایر زوایا متفاوت است. برای بدست آوردن مقادیر نسبتهای مثلثاتی در زوایای قائمه که شامل \(0^{\circ},90^{\circ},270^{\circ},360^{\circ}\) می باشند، از نقطۀ \(P(x,y)\) که بر روی بازوی نهایی زاویه قرار دارد استفاده می کنیم:
   $$
   \sin 90^{\circ} = \frac{y}{r} = \frac{y}{y}=1\\
   \cos 90^{\circ} = \frac{x}{r} = \frac{0}{y} = 0\\
   \tan 90^{\circ} = \frac{y}{x} = \frac{y}{0} = \text{undefined} (\text{ تعریف نشده })
   $$