نویسنده : امیر انصاری

• مرحلۀ 1:
  1. \(\triangle{ABC}\) را با طول اضلاع \(a=4 \text{ cm}\)، \(b=8 \text{ cm}\)، و \(c=6 \text{ cm}\) ترسیم کنید.
     
  2. در هر ضلع از این مثلث، مربعی ترسیم کنید.
     
  3. لبه های بیرونی این مربع ها را به یکدیگر وصل کنید تا سه مثلث جدید تشکیل گردد.
     
• مرحلۀ 2:
  1. در \(\triangle{ABC}\) اندازۀ زوایای \(\angle{A}\)، \(\angle{B}\)، و \(\angle{C}\) را تعیین کنید.
     
  2. توضیح دهید که چرا مجموع جفت زوایایی همچون \(\angle{ABC}\) و \(\angle{GBF}\) برابر با \(180^{\circ}\) می شوند. اندازۀ زوایای \(\angle{GBF}\)، \(\angle{HCL}\)، و \(\angle{DAE}\) را تعیین کنید.
     
  3. طول های اضلاع سوم \(GF\)، \(DE\)، و \(HI\) از مثلث های \(\triangle{BGF}\)، \(\triangle{ADE}\)، و \(\triangle{CHI}\) را تعیین کنید.
     
• مرحلۀ 3: برای هر کدام از این چهار مثلث، ارتفاع (altitude) بکشید.
  
  1. از نسبت سینوس برای تعیین اندازۀ هر ارتفاع استفاده کنید.
     
  2. مساحت هر مثلث را تعیین کنید.
     
• مرحلۀ 4: دربارۀ مساحت این مثلث ها متوجه چه موضوعی شدید؟ توضیح دهید که چرا فکر می کنید این اتفاق افتاده است. آیا این نتایج در مورد \(\triangle{ABC}\) صدق می کنند؟
  

پاسخ

• مرحلۀ 2:
  1. $$
     \angle{A} = \cos^{-1}\biggl( \frac{6^2+8^2-4^2}{2(6)(8)} \biggr)=28.955...\\
     \angle{A} \approx 29^{\circ}\\
     \angle{B} = \cos^{-1}\biggl( \frac{6^2+4^2-8^2}{2(6)(4)} \biggr)=104.477...\\
     \angle{B} \approx 104^{\circ}\\
     \angle{C} =180^{\circ} - 29^{\circ} - 104^{\circ} = 47^{\circ}
     $$
     
  2. زوایای موجود در هر رأس مربع برابر با \(90^{\circ}\) می باشند، بنابراین:
     $$
     360^{\circ} = \angle{ABC} + 90^{\circ} + \angle{GBF} + 90^{\circ}\\
     180^{\circ} = \angle{ABC} + \angle{GBF}\\
     \text{ }\\[2ex]
     \angle{GBF} = 76^{\circ}\\
     \angle{HCI} = 133^{\circ}\\
     \angle{DAE} = 151^{\circ}
     $$
     
  3. $$
     GF=\sqrt{6^2+4^2-2(6)(4) \cos 76^{\circ}} = 6.355... \approx 6.4 \text{ cm}\\
     DE=\sqrt{6^2+8^2-2(6)(8) \cos 151^{\circ}} = 13.563... \approx 13.6 \text{ cm}\\
     HI=\sqrt{4^2+8^2-2(4)(8) \cos 133^{\circ}} = 11.119... \approx 11.1 \text{ cm}
     $$
     
• مرحلۀ 3:
  1. $$
     \text{In } \triangle{ABC}:\\
     \sin C = \frac{h}{4}\\
     h = 4 \sin 47^{\circ} = 2.925... \approx 2.9 \text{ cm}
     $$
     در \(\triangle{ABC}\) ارتفاع از \(B\) به \(AC\) برابر با \(2.9 \text{ cm}\) می باشد.
     
     $$
     \text{In } \triangle{GBF}:\\
     \frac{\sin G}{g} = \frac{\sin B}{b}\\
     \frac{\sin G}{6} = \frac{\sin 76^{\circ}}{6.4}\\
     \angle{G} = \sin^{-1} \biggl( \frac{6 \sin 76^{\circ}}{6.4} \biggr)=65.457...\\
     \angle{G} \approx 65^{\circ}\\
     \sin G = \frac{h}{4}\\
     h = 4 \sin 65^{\circ} = 3.625... \approx 3.6 \text{ cm}
     $$
     در \(\triangle{BGF}\) ارتفاع از \(B\) به \(GF\) برابر با \(3.6 \text{ cm}\) می باشد.
     
     در \(\triangle{HCI}\) ارتفاع از \(C\) به \(HI\) برابر با \(2.1 \text{ cm}\) می باشد.
     
     در \(\triangle{AED}\) ارتفاع از \(A\) به \(DE\) برابر با \(1.6 \text{ cm}\) می باشد.
     
     
  2. مساحت \(\triangle{ABC}\) برابر با \(11.7 \text{ cm}^2\)، مساحت \(\triangle{BGF}\) برابر با \(11.7 \text{ cm}^2\)، مساحت \(\triangle{AED}\) برابر با \(11.7 \text{ cm}^2\)، و مساحت \(\triangle{HCI}\) برابر با \(11.7 \text{ cm}^2\) می باشد.
     
  
  
• مرحلۀ 4: مساحت هر چهار مثلث برابر می باشند. از آنجا که از زوایای مرجع برای تعیین ارتفاع استفاده کردید، حاصلضرب \(\frac{1}{2}bh\) برای تمامی این مثلث ها مساحت یکسانی را تعیین خواهد کرد. این مسأله در مورد هر مثلثی صدق می کند.