توابع درجه دوم (Quadratic functions)، یا سهمی هایی (parabolas)، که دارای شکل استاندارد \(y=ax^2+bx+c\) می باشند، منحنی های ملایم U شکلی هستند که رو به سمت پایین یا بالا باز می شوند. هنگامی که ضریب آغازین یعنی \(a\) عددی مثبت باشد، سهمی رو به سمت بالا باز می شود، یک مقدار کمینه (minimum value) برای تابع ایجاد می شود، مقادیر تابع هرگز از این مقدار کمینه، کوچکتر نخواهند شد. هنگامی که \(a\) منفی باشد، سهمی رو به سمت پایین باز می شود، یک مقدار بیشینه (maximum value) برای تابع ایجاد می شود که مقادیر تابع هرگز از آن بیشینه بزرگتر نخواهند شد.






رأس یک سهمی برای پیدا کردن مقدار نهایی بسیار سودمند است، بنابراین قطعاً جبر روشی را برای پیدا کردن آن فراهم آورده است. درست است؟ خوب، مطمئناً همینطور است؟ رأس به عنوان نوعی لنگر برای دو بخش منحنی خدمت می کند تا از آنجا منحنی زبانه بکشد. محور تقارن (axis of symmetry) از میان رأس عبور می کند. (در مور محور تقارن در ادامۀ همین فصل بحث خواهیم داشت). مختصات \(y\) در رأس، بسته به اینکه سهمی رو به کدام سمت باز شود، مقدار کمینه یا بیشینۀ تابع می باشد.


به عنوان مثال، برای پیدا کردن مختصات رأس در معادلۀ \(y=-3x^2+12x-7\) ، ضریبهای \(a\) و \(b\) را در معادلۀ \(x\) جایگزین می کنید:
$$ x={-12 \over 2(-3)}={-12 \over -6}=2 $$
با قرار دادن مقدار \(x\) در معادله، آن را برای بدست آوردن \(y\) حل می کنید:
$$ y=-3(2)^2+12(2)-7=-12+24-7=5 $$
مختصات رأس برابر با \( (2,5) \) می باشد. شما یک مقدار بیشینه (maximum value) را پیدا کرده اید، زیرا \(a\) عددی منفی می باشد، و معنایش اینست که سهمی از این نقطه رو به سمت پایین باز می شود. نمودار این سهمی هرگز بیش از پنج واحد بالاتر نخواهد رفت.


برای مثال، برای پیدا کردن مختصات رأس در \(y=4x^2-19\) ، شما ضریب های \( a(4)\) و \(b(0)\) را در معادلۀ \(x\) جایگزین می کنید:
$$ x={-0 \over 2(4)}=0 $$
سپس با قرار دادن مقدار \(x\) در معادله، آن را برای \(y\) حل می کنید:
$$ y=4(0)^2-19=-19 $$
مختصات رأس برابر با \( (0,-19) \) می باشد. شما یک مقدار کمینه دارید، زیرا \(a\) عددی مثبت می باشد، بدین معنا که سهمی از این نقطۀ کمینه رو به سمت بالا باز می شود.